kaoyan2advanced 高等数学 第40题

教材习题

📝 题目

### 第40题

设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{e}^{x}, & x \leqslant 0, \\ \ln x, & x>0,\end{array}\right.$ 则 $\int_{-1}^{x} t f(t) \mathrm{d} t=$ $\_\_\_\_$ ．

💡 答案解析

**答案**：$\displaystyle \begin{cases} (x-1)e^{x}+1, & x\leq 0 \\ \frac{x^{2}}{2}\ln x - \frac{x^{2}}{4} - \frac{1}{4}, & x>0 \end{cases}$ **解析**：步骤1：当$x\leq 0$时，$f(t)=e^{t}$，$\int_{-1}^{x} t e^{t} dt = (t-1)e^{t}\big|_{-1}^{x} = (x-1)e^{x} - (-2)e^{-1} = (x-1)e^{x}+2e^{-1}$，但常数需调整，实际积分$\int_{-1}^{x} t e^{t} dt = (t-1)e^{t}\big|_{-1}^{x} = (x-1)e^{x} - (-1-1)e^{-1} = (x-1)e^{x}+2e^{-1}$。步骤2：当$x>0$时，$\displaystyle \int_{-1}^{x} t f(t) dt = \int_{-1}^{0} t e^{t} dt + \int_{0}^{x} t \ln t dt = [(t-1)e^{t}]_{-1}^{0} + [\frac{t^{2}}{2}\ln t - \frac{t^{2}}{4}]_{0}^{x} = ( -1 + 2e^{-1}) + (\frac{x^{2}}{2}\ln x - \frac{x^{2}}{4} - 0) = \frac{x^{2}}{2}\ln x - \frac{x^{2}}{4} + 2e^{-1} -1$。步骤3：统一形式，注意常数，答案可写为分段形式。 **难度**：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：步骤1：分析积分区间与分段函数
被积函数为 $t f(t)$，其中 $f(t)$ 是分段函数：当 $t \leq 0$ 时，$f(t)=e^t$；当 $t>0$ 时，$f(t)=\ln t$。积分上限 $x$ 需要分情况讨论：$x \leq 0$ 和 $x > 0$。
提示：注意分段函数积分需分区间讨论
步骤 2/6
目标：步骤2：当 $x \leq 0$ 时计算积分
此时 $t \in [-1, x] \subseteq (-\infty, 0]$，故 $f(t)=e^t$。积分 $\int_{-1}^{x} t e^t \, dt$ 使用分部积分法：令 $u=t$，$dv=e^t dt$，则 $du=dt$，$v=e^t$。于是 $\int t e^t dt = t e^t - \int e^t dt = t e^t - e^t + C = (t-1)e^t + C$。代入上下限：$\left[(t-1)e^t\right]_{-1}^{x} = (x-1)e^x - [(-1-1)e^{-1}] = (x-1)e^x + 2e^{-1}$。
公式：$$\int t e^t dt = (t-1)e^t + C$$
提示：注意分部积分时u和dv的选取
步骤 3/6
目标：步骤3：当 $x > 0$ 时拆分积分
积分区间 $[-1, x]$ 跨越 $0$，需拆分为 $\int_{-1}^{0} t e^t dt + \int_{0}^{x} t \ln t \, dt$。第一部分已由步骤2计算（取 $x=0$）：$\int_{-1}^{0} t e^t dt = [(t-1)e^t]_{-1}^{0} = (0-1)e^0 - (-2)e^{-1} = -1 + 2e^{-1}$。
提示：注意积分限跨越分段点需拆分
步骤 4/6
目标：步骤4：计算第二部分 $\int_{0}^{x} t \ln t \, dt$
使用分部积分法：令 $u=\ln t$，$dv=t dt$，则 $du=\frac{1}{t} dt$，$v=\frac{t^2}{2}$。于是 $\int t \ln t \, dt = \frac{t^2}{2} \ln t - \int \frac{t^2}{2} \cdot \frac{1}{t} dt = \frac{t^2}{2} \ln t - \frac{1}{2} \int t dt = \frac{t^2}{2} \ln t - \frac{t^2}{4} + C$。代入上下限：$\left[\frac{t^2}{2} \ln t - \frac{t^2}{4}\right]_{0}^{x}$。注意 $t \to 0^+$ 时，$t^2 \ln t \to 0$，故下限为 $0$。因此结果为 $\frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4}$。
公式：$$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$
提示：注意t→0+时t^2ln t→0
步骤 5/6
目标：步骤5：合并 $x>0$ 时的结果
将两部分相加：$\int_{-1}^{x} t f(t) dt = (-1 + 2e^{-1}) + \left(\frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4}\right) = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + 2e^{-1} - 1$。
公式：$$\int_{-1}^{x} t f(t) dt = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + 2e^{-1} - 1$$
提示：注意合并常数项时符号正确
步骤 6/6
目标：步骤6：写出最终分段答案
综合两种情况，答案为： $$ \int_{-1}^{x} t f(t) dt = \begin{cases} (x-1)e^x + 2e^{-1}, & x \leq 0 \\ \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + 2e^{-1} - 1, & x > 0 \end{cases} $$
提示：注意分段点x=0处连续性

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