kaoyan2advanced 高等数学 第90题
📝 题目
### 第90题
设 $f(x)$ 有连续导数，$f(0)=0$ ，当 $x \rightarrow 0$ 时， $\int_{0}^{f(x)} f(t) \mathrm{d} t$ 与 $x^{2}$ 是等价无穷小，则 $f^{\prime}(0)$等于 （A） 0 ． （B） 2 ． （C）$\sqrt{2}$ ． （D）$\sqrt[3]{2}$ ．
建议答题时问
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：由题意$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\int_0^{f(x)}f(t)dt}{x^2}=1$。步骤2：当$x\to0$时，$f(x)\to0$，令$u=f(x)$，则$\int_0^u f(t)dt\sim f(0)u=0$，需用洛必达。步骤3：分子求导$f(f(x))f'(x)$，分母求导$2x$，得$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(f(x))f'(x)}{2x}=1$。步骤4：$f(f(x))\sim f'(0)f(x)\sim f'(0)^2x$，故$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f'(0)^2x\cdot f'(0)}{2x}=\frac{f'(0)^3}{2}=1$，得$f'(0)=\sqrt[3]{2}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：根据等价无穷小条件列出极限式
由题意，当 $x \to 0$ 时，$\int_{0}^{f(x)} f(t) \mathrm{d} t$ 与 $x^2$ 是等价无穷小，即 $$\lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{f(x)} f(t) \mathrm{d} t}{x^2} = 1.$$
公式：$$\lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{f(x)} f(t) \mathrm{d} t}{x^2} = 1$$
提示：注意等价无穷小定义中极限值为1
步骤 2/5
目标：分析分子极限并考虑洛必达法则
由于 $f(0)=0$，当 $x \to 0$ 时，$f(x) \to 0$，分子极限为 $\int_{0}^{0} f(t) \mathrm{d} t = 0$，分母极限也为 $0$，满足 $\frac{0}{0}$ 型未定式，可使用洛必达法则。
提示：注意分子积分上限为f(x)，需用复合函数求导
步骤 3/5
目标：对分子分母分别求导
分子求导：$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_{0}^{f(x)} f(t) \mathrm{d} t = f(f(x)) \cdot f'(x)$（由变上限积分求导法则）。分母求导：$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (x^2) = 2x$。因此，$$\lim_{x \to 0} \frac{f(f(x)) f'(x)}{2x} = 1.$$
公式：$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_{0}^{f(x)} f(t) \mathrm{d} t = f(f(x)) \cdot f'(x)$$
提示：注意复合函数求导时内层函数f(x)的导数
步骤 4/5
目标：利用等价无穷小替换 $f(f(x))$
当 $x \to 0$ 时，$f(x) \sim f'(0) x$（因为 $f(0)=0$ 且 $f$ 可导），则 $f(f(x)) \sim f'(0) \cdot f(x) \sim f'(0) \cdot f'(0) x = [f'(0)]^2 x$。代入极限式得：$$\lim_{x \to 0} \frac{[f'(0)]^2 x \cdot f'(0)}{2x} = \frac{[f'(0)]^3}{2} = 1.$$
公式：$$f(f(x)) \sim [f'(0)]^2 x$$
提示：注意f(0)=0且f可导的条件
步骤 5/5
目标：解出 $f'(0)$
由 $\frac{[f'(0)]^3}{2} = 1$ 得 $[f'(0)]^3 = 2$，所以 $f'(0) = \sqrt[3]{2}$。
提示：注意开立方根时符号为正
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。