kaoyan2advanced 高等数学 第89题
📝 题目
### 第89题
设 $f(x)$ 是以 4 为周期的连续函数，且 $f^{\prime}(1)=-1, F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{F^{\prime}(5-x)-F^{\prime}(5)}{x}=$ （A）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ． （B） 0 ． （C）-1 ． （D） 1 ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：$F'(x)=f(x)$，故$F'(5-x)=f(5-x)$，$F'(5)=f(5)$。步骤2：由周期性$f(5)=f(1)$，$f(5-x)=f(1-x)$（因为周期4，$5-x=1+(4-x)$，周期4得$f(5-x)=f(1-x)$）。步骤3：原极限$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(1-x)-f(1)}{x}=-\lim_{x\to0}\frac{f(1-x)-f(1)}{-x}=-f'(1)=1$。步骤4：注意符号，$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(1-x)-f(1)}{x}=-f'(1)=1$，故答案为1？但选项有-1和1，需仔细：$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(5-x)-f(5)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{f(1-x)-f(1)}{x}=-f'(1)=1$，选D。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：步骤1：求导关系与极限转化
由 $F(x)=\int_0^x f(t)dt$ 得 $F'(x)=f(x)$，因此 $F'(5-x)=f(5-x)$，$F'(5)=f(5)$。原极限化为：
$$\lim_{x\to 0}\frac{f(5-x)-f(5)}{x}$$
公式：$$F'(x)=f(x)$$
提示：注意复合函数求导时内层函数为5-x
步骤 2/5
目标：步骤2：利用周期性化简函数值
已知 $f(x)$ 以 4 为周期，则 $f(5)=f(5-4)=f(1)$，且 $f(5-x)=f(5-x-4)=f(1-x)$（因为 $5-x-4=1-x$）。代入极限得：
$$\lim_{x\to 0}\frac{f(1-x)-f(1)}{x}$$
公式：$$f(5)=f(1),\quad f(5-x)=f(1-x)$$
提示：注意周期函数自变量平移时保持周期不变
步骤 3/5
目标：步骤3：构造导数定义形式
注意到导数定义：$f'(1)=\lim_{x\to 0}\frac{f(1+x)-f(1)}{x}$。令 $h=-x$，则 $x\to 0$ 时 $h\to 0$，且 $f(1-x)=f(1+h)$，于是：
$$\lim_{x\to 0}\frac{f(1-x)-f(1)}{x}=\lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{-h}=-\lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=-f'(1)$$
公式：$$f'(1)=\lim_{x\to 0}\frac{f(1+x)-f(1)}{x}$$
提示：注意变量替换后符号变化
步骤 4/5
目标：步骤4：代入已知导数并得出结果
已知 $f'(1)=-1$，代入得：
$$-f'(1)=-(-1)=1$$ 因此原极限等于 1。
提示：注意负号处理
步骤 5/5
目标：步骤5：选择答案
根据计算结果，极限值为 1，对应选项（D）。
提示：注意周期函数导数的周期性
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。