kaoyan2advanced 高等数学 第88题
📝 题目
### 第88题
设 $f(x)$ 连续，且 $f(1)=1$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\int_{1}^{\frac{1}{x}} f(t x) \mathrm{d} t}{x^{2}-1}=$ （A）1． （B）-1 ． （C）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ． （D）$\displaystyle -\frac{1}{2}$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：令$u=tx$，则$\displaystyle t=\frac{u}{x}$，$\displaystyle dt=\frac{du}{x}$，积分限：$t=1$时$u=x$，$\displaystyle t=\frac1x$时$u=1$，故$\displaystyle \int_1^{1/x}f(tx)dt=\int_x^1f(u)\frac{du}{x}=\frac1x\int_x^1f(u)du$。步骤2：原极限$\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{\frac1x\int_x^1f(u)du}{x^2-1}=\lim_{x\to1}\frac{\int_x^1f(u)du}{x(x^2-1)}$。步骤3：当$x\to1$时，$\int_x^1f(u)du\sim f(1)(1-x)=1-x$，分母$x(x^2-1)\sim2(x-1)$，故极限$\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{1-x}{2(x-1)}=-\frac12$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：变量代换化简积分
令 $u = tx$，则 $t = \frac{u}{x}$，$dt = \frac{du}{x}$。当 $t = 1$ 时，$u = x$；当 $t = \frac{1}{x}$ 时，$u = 1$。因此，\[\int_{1}^{\frac{1}{x}} f(tx) \, dt = \int_{x}^{1} f(u) \cdot \frac{du}{x} = \frac{1}{x} \int_{x}^{1} f(u) \, du.\]
公式：$$\int_{1}^{\frac{1}{x}} f(tx) \, dt = \frac{1}{x} \int_{x}^{1} f(u) \, du$$
提示：注意积分上下限的对应变化
步骤 2/4
目标：代入原极限并整理
原极限化为：\[\lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} \int_{x}^{1} f(u) \, du}{x^2 - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{\int_{x}^{1} f(u) \, du}{x(x^2 - 1)}.\]
公式：$$\lim_{x \to 1} \frac{\int_{x}^{1} f(u) \, du}{x(x^2 - 1)}$$
提示：注意积分上下限变换时符号变化
步骤 3/4
目标：利用等价无穷小和积分中值定理
当 $x \to 1$ 时，$\int_{x}^{1} f(u) \, du \sim f(1)(1 - x) = 1 - x$（因为 $f$ 连续且 $f(1) = 1$）。分母 $x(x^2 - 1) = x(x - 1)(x + 1) \sim 1 \cdot (x - 1) \cdot 2 = 2(x - 1)$。因此，极限等价于：\[\lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{2(x - 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{-(x - 1)}{2(x - 1)} = -\frac{1}{2}.\]
公式：$$\int_{x}^{1} f(u) \, du \sim f(1)(1-x) = 1-x$$
提示：注意x→1时分子积分上下限顺序
步骤 4/4
目标：得出答案
因此，极限值为 $-\frac{1}{2}$，对应选项（D）。
公式：$$\lim_{x \to 1} \frac{\int_{1}^{\frac{1}{x}} f(t) \, dt}{x-1} = -\frac{1}{2}$$
提示：注意积分上限是1/x，需用换元或洛必达
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