kaoyan2advanced 高等数学 第211题
📝 题目
### 第211题
已知函数 $z=f(x, y)$ 的全微分 $\mathrm{d} z=2 x \mathrm{~d} x-2 y \mathrm{~d} y$ ，并且 $f(1,1)=2$ ，求 $f(x, y)$ 在椭圆域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \left\lvert\, x^{2}+\frac{y^{2}}{4} \leqslant 1\right.\right\}$ 上的最大值和最小值．
💡 答案解析
**答案**：最大值 $3$，最小值 $-2$ **解析**： 步骤1：由 $\mathrm{d}z=2x\mathrm{d}x-2y\mathrm{d}y$，得 $f(x,y)=x^{2}-y^{2}+C$，由 $f(1,1)=2$ 得 $1-1+C=2$，$C=2$，故 $f(x,y)=x^{2}-y^{2}+2$。 步骤2：在椭圆域 $D$ 内，驻点 $(0,0)$，$f(0,0)=2$。边界 $\displaystyle x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$，令 $x=\cos\theta$，$y=2\sin\theta$，则 $f=\cos^{2}\theta - 4\sin^{2}\theta + 2 = \cos^{2}\theta - 4(1-\cos^{2}\theta) + 2 = 5\cos^{2}\theta - 2$，$\cos^{2}\theta \in [0,1]$，故 $f \in [-2,3]$。比较得最大值 $3$，最小值 $-2$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：由全微分求原函数
已知 $\mathrm{d}z = 2x\mathrm{d}x - 2y\mathrm{d}y$，积分得 $f(x,y) = x^2 - y^2 + C$。代入 $f(1,1)=2$，得 $1-1+C=2$，解得 $C=2$，故 $f(x,y)=x^2-y^2+2$。
公式：$$f(x,y) = \int \mathrm{d}z = \int 2x \mathrm{d}x - 2y \mathrm{d}y$$
提示：积分时注意常数C的确定
步骤 2/5
目标：求区域内部的驻点
在椭圆域 $D: x^2 + \frac{y^2}{4} \leq 1$ 内部，令 $\frac{\partial f}{\partial x}=2x=0$，$\frac{\partial f}{\partial y}=-2y=0$，得驻点 $(0,0)$，计算 $f(0,0)=2$。
提示：注意驻点需在区域内部
步骤 3/5
目标：参数化边界并代入函数
边界方程为 $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$，令 $x = \cos\theta$，$y = 2\sin\theta$，$\theta \in [0,2\pi)$。代入 $f$ 得 $f(\theta) = \cos^2\theta - 4\sin^2\theta + 2 = \cos^2\theta - 4(1-\cos^2\theta) + 2 = 5\cos^2\theta - 2$。
提示：注意参数化时y的系数对应椭圆半轴
步骤 4/5
目标：求边界上的最值
由于 $\cos^2\theta \in [0,1]$，则 $f(\theta) \in [-2,3]$。当 $\cos\theta = 0$ 时，$f=-2$；当 $\cos\theta = \pm 1$ 时，$f=3$。
提示：注意三角函数值域对最值的影响
步骤 5/5
目标：比较并得出最值
内部驻点值 $2$，边界最小值 $-2$，最大值 $3$。因此 $f(x,y)$ 在 $D$ 上的最大值为 $3$，最小值为 $-2$。
提示：注意比较驻点值与边界最值
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