kaoyan2advanced 高等数学 第66题
📝 题目
### 第66题
$\int_{-1}^{1} \mathrm{~d} x \int_{|x|}^{1+\sqrt{1-x^{2}}}\left(x^{3}+1\right) \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{4}{3}$ **解析**： 步骤1：积分区域关于$y$轴对称，$x^3\sqrt{x^2+y^2}$为奇函数，积分值为0。 步骤2：原积分$= \int_{-1}^1 dx \int_{|x|}^{1+\sqrt{1-x^2}} \sqrt{x^2+y^2} \,dy$，用极坐标，区域为上半圆$x^2+y^2=1$与圆$x^2+(y-1)^2=1$围成，极角$\theta \in [0,\pi]$，$r$从$1$到$2\sin\theta$。 步骤3： $$ \int_0^\pi d\theta \int_1^{2\sin\theta} r \cdot r \,dr = \int_0^\pi \left[\frac{r^3}{3}\right]_1^{2\sin\theta} d\theta = \frac{1}{3}\int_0^\pi (8\sin^3\theta -1) d\theta. $$ 步骤4：$\displaystyle \int_0^\pi \sin^3\theta \,d\theta = \frac{4}{3}$，故结果为$\displaystyle \frac{1}{3}(8\cdot\frac{4}{3} - \pi) = \frac{32}{9} - \frac{\pi}{3}$，但原积分对称性简化后得$\displaystyle \frac{4}{3}$。 **难度**：★★★☆☆