kaoyan2advanced 高等数学 第65题
📝 题目
### 第65题
设 $a>0, f(x)=g(x)=\left\{\begin{array}{ll}a, & 0 \leqslant x \leqslant 1, \\ 0, & \text { 其他．}\end{array}\right.$ 表示全平面，则 $\iint_{D} f(x) g(y-x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$。 建议答题时问 $\leqslant 2 \mathrm{~min}$
💡 答案解析
**答案**：$a^2$ **解析**： 步骤1：$f(x)g(y-x)$非零当且仅当$0 \le x \le 1$且$0 \le y-x \le 1$，即$x \le y \le x+1$。 步骤2：积分区域为$x\in[0,1], y\in[x,x+1]$，则 $$ \iint_{\mathbb{R}^2} f(x)g(y-x)\,dx\,dy = \int_0^1 a \,dx \int_x^{x+1} a \,dy = a^2 \int_0^1 1 \,dx = a^2. $$ **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定非零条件
由 $f(x)=\begin{cases} a, & 0 \le x \le 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$ 和 $g(y-x)=\begin{cases} a, & 0 \le y-x \le 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$，得 $f(x)g(y-x) \neq 0$ 当且仅当 $0 \le x \le 1$ 且 $0 \le y-x \le 1$，即 $x \le y \le x+1$。
提示：注意非零区域的交集条件
步骤 2/4
目标：确定积分区域
积分区域 $D$ 为 $x \in [0,1]$，$y \in [x, x+1]$。
提示：注意x和y的积分限对应关系
步骤 3/4
目标：计算二重积分
\[ \iint_{\mathbb{R}^2} f(x)g(y-x) \,dx\,dy = \int_0^1 \left( \int_x^{x+1} a \cdot a \,dy \right) dx = a^2 \int_0^1 (x+1 - x) \,dx = a^2 \int_0^1 1 \,dx = a^2. \]
公式：$$\iint_{\mathbb{R}^2} f(x)g(y-x) \,dx\,dy = \int_0^1 \left( \int_x^{x+1} a \cdot a \,dy \right) dx = a^2$$
提示：注意积分区域变换和上下限确定
步骤 4/4
目标：得出答案
因此，所求积分为 $a^2$。
提示：注意分段函数的积分区间
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