kaoyan2advanced 高等数学 第64题
📝 题目
### 第64题
D$ 为 $x^{2}+y^{2}=1$ 的上半圆与 $x^{2}+y^{2}=2 y$ 的下半圆所围成的区域，则二重积分 $I= \iint_{D}\left(\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}-x^{7} \cos ^{4} y\right) \mathrm{d} \sigma=$ $\_\_\_\_$ ．$
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{4\pi}{3}$ **解析**： 步骤1：区域$D$关于$y$轴对称，$x^7 \cos^4 y$为奇函数，积分值为0。 步骤2：$I = \iint_D \sqrt{4-x^2-y^2} \,d\sigma$，用极坐标，$D$为圆$x^2+y^2=1$的上半圆与$x^2+y^2=2y$的下半圆交集，极角范围$\theta \in [0,\pi]$，半径$r$从$1$到$2\sin\theta$。 步骤3： $$ I = \int_0^\pi d\theta \int_1^{2\sin\theta} \sqrt{4-r^2} \cdot r \,dr = \int_0^\pi \left[-\frac{1}{3}(4-r^2)^{3/2}\right]_{r=1}^{r=2\sin\theta} d\theta. $$ 步骤4：计算得$\displaystyle \frac{4\pi}{3}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
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