kaoyan2advanced 高等数学 第63题
📝 题目
### 第63题
D$ 是由直线 $y=x, y=\pi, x=0$ 所围成的平面区域，则二重积分 $\iint_{D} \frac{\sin x}{\pi-x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．$
💡 答案解析
**答案**：$2$ **解析**： 步骤1：积分区域$D: 0 \le x \le \pi, x \le y \le \pi$，则 $$ \iint_D \frac{\sin x}{\pi-x} \,dx\,dy = \int_0^\pi \frac{\sin x}{\pi-x} \,dx \int_x^\pi dy = \int_0^\pi \frac{\sin x}{\pi-x} (\pi-x) \,dx = \int_0^\pi \sin x \,dx. $$ 步骤2：计算得$\int_0^\pi \sin x \,dx = 2$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定积分区域
由直线 $y=x$, $y=\pi$, $x=0$ 围成的区域 $D$ 可表示为：$0 \le x \le \pi$, $x \le y \le \pi$。
提示：注意积分限的确定，x从0到π，y从x到π
步骤 2/5
目标：化为累次积分
将二重积分化为先对 $y$ 后对 $x$ 的累次积分：
$$\iint_D \frac{\sin x}{\pi-x} \,dx\,dy = \int_0^\pi \frac{\sin x}{\pi-x} \,dx \int_x^\pi dy.$$
公式：$$\iint_D f(x,y) \,dx\,dy = \int_a^b \left(\int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y) \,dy\right) dx$$
提示：注意积分限对应区域边界
步骤 3/5
目标：计算内层积分
内层积分 $\int_x^\pi dy = \pi - x$，代入得：
$$\int_0^\pi \frac{\sin x}{\pi-x} (\pi-x) \,dx = \int_0^\pi \sin x \,dx.$$
公式：$$\int_x^\pi dy = \pi - x$$
提示：注意积分限顺序，先积y再积x
步骤 4/5
目标：计算定积分
计算 $\int_0^\pi \sin x \,dx = [-\cos x]_0^\pi = -\cos\pi + \cos 0 = -(-1) + 1 = 2.$
公式：$$\int_0^\pi \sin x \,dx = [-\cos x]_0^\pi = -\cos\pi + \cos 0 = -(-1) + 1 = 2$$
提示：注意cosπ=-1，cos0=1，符号易错
步骤 5/5
目标：得出答案
因此，二重积分的值为 $2$。
公式：$$\iint_D f(x,y) \, dxdy = \int_a^b \int_{c(x)}^{d(x)} f(x,y) \, dy \, dx$$
提示：注意积分次序和积分限的确定
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