kaoyan2advanced 高等数学 第62题
📝 题目
### 第62题
设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $z=f(x+y+z)$ 所确定的隐函数，其中 $f$ 二阶可微，$f^{\prime} \neq$ 1 ，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{f''}{(1-f')^3}$ **解析**： 步骤1：方程两边对$x$求偏导：$z_x=f'(1+z_x)$，解得$\displaystyle z_x=\frac{f'}{1-f'}$。 步骤2：再对$x$求偏导：$z_{xx}=f''(1+z_x)^2+f' z_{xx}$，整理得$z_{xx}(1-f')=f''(1+z_x)^2$。 步骤3：代入$\displaystyle z_x=\frac{f'}{1-f'}$，得$\displaystyle 1+z_x=\frac{1}{1-f'}$，故$\displaystyle z_{xx}=\frac{f''}{(1-f')^3}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：步骤1：方程两边对x求偏导
方程 $z = f(x+y+z)$ 两边对 $x$ 求偏导，得 $z_x = f'(1 + z_x)$。整理得 $z_x - f' z_x = f'$，即 $z_x(1 - f') = f'$，解得 $z_x = \frac{f'}{1 - f'}$。
公式：$$z_x = \frac{f'}{1 - f'}$$
提示：注意隐函数求导时z是x的函数
步骤 2/5
目标：步骤2：再次对x求偏导
对 $z_x = f'(1 + z_x)$ 两边再对 $x$ 求偏导，得 $z_{xx} = f''(1 + z_x)^2 + f' z_{xx}$。移项得 $z_{xx} - f' z_{xx} = f''(1 + z_x)^2$，即 $z_{xx}(1 - f') = f''(1 + z_x)^2$。
公式：$$z_{xx} = \frac{f''(1+z_x)^2}{1-f'}$$
提示：注意复合函数求导时内层导数
步骤 3/5
目标：步骤3：计算1+z_x
由 $z_x = \frac{f'}{1 - f'}$，得 $1 + z_x = 1 + \frac{f'}{1 - f'} = \frac{1 - f' + f'}{1 - f'} = \frac{1}{1 - f'}$。
公式：$$1 + z_x = \frac{1}{1 - f'}$$
提示：注意通分时分子项不要遗漏
步骤 4/5
目标：步骤4：代入求解z_{xx}
将 $1 + z_x = \frac{1}{1 - f'}$ 代入 $z_{xx}(1 - f') = f''(1 + z_x)^2$，得 $z_{xx}(1 - f') = f'' \cdot \frac{1}{(1 - f')^2}$。两边除以 $1 - f'$（注意 $f' \neq 1$），得 $z_{xx} = \frac{f''}{(1 - f')^3}$。
公式：$$z_{xx} = \frac{f''}{(1 - f')^3}$$
提示：注意分母不为零条件
步骤 5/5
目标：步骤5：得出最终答案
因此，$\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = \frac{f''}{(1 - f')^3}$。
公式：$$\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = \frac{f''}{(1 - f')^3}$$
提示：注意分母是三次方，不要漏掉负号
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