kaoyan2advanced 高等数学 第85题
📝 题目
### 第85题
下列命题
（1）设 $|f(x)|$ 在 $x=x_{0}$ 处连续，则 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处必连续． （2）设 $\lim _{h \rightarrow 0}\left[f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}-h\right)\right]=0$ ，则 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处必连续． （3）设 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处连续，$g(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处不连续，则 $f(x) g(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处必不连续． （4）设 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处都不连续，则 $f(x)+g(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处必不连续．其中正确的命题个数为 （A） 0 ． （B） 1 ． （C） 2 ． （D）大于等于 3 ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：命题(1)错误，反例$f(x)=\begin{cases}1,&x\in\mathbb{Q}\\-1,&x\notin\mathbb{Q}\end{cases}$，$|f(x)|=1$连续，但$f(x)$处处不连续。步骤2：命题(2)错误，反例$f(x)=\begin{cases}1,&x=0\\0,&x\neq0\end{cases}$，满足条件但在$x=0$处不连续。步骤3：命题(3)错误，反例$f(x)=0$连续，$g(x)$不连续，乘积$0$连续。步骤4：命题(4)错误，反例$f(x)=\begin{cases}1,&x\geq0\\0,&x<0\end{cases}$，$g(x)=\begin{cases}0,&x\geq0\\1,&x<0\end{cases}$，两者都不连续，但和$f+g=1$连续。故正确个数为0。 **难度**：★★☆☆☆