kaoyan2advanced 高等数学 第217题
📝 题目
### 第217题
计算 $\iint_{D}|\cos (x+y)| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中区域 $D$ 为 $\displaystyle 0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}, 0 \leqslant y \leqslant \frac{\pi}{2}$ ． 建设谷题时间 $\leqslant 10 \mathrm{~min}$ 铼估
💡 答案解析
**答案**：$2$ **解析**： 步骤1：区域$D$为正方形$\displaystyle [0,\frac{\pi}{2}]\times[0,\frac{\pi}{2}]$，被积函数$|\cos(x+y)|$。作变量代换$u=x+y$，则积分区域变为$0\leq u\leq \pi$，$x$从$0$到$u$（当$\displaystyle 0\leq u\leq \frac{\pi}{2}$）或$x$从$\displaystyle u-\frac{\pi}{2}$到$\displaystyle \frac{\pi}{2}$（当$\displaystyle \frac{\pi}{2}\leq u\leq \pi$），雅可比行列式为$1$。 步骤2：将积分拆分为两部分： $$I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^u |\cos u|\,\mathrm{d}x\mathrm{d}u+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\int_{u-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} |\cos u|\,\mathrm{d}x\mathrm{d}u$$ $$=\int_0^{\frac{\pi}{2}} u\cos u\,\mathrm{d}u+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (\pi-u)(-\cos u)\,\mathrm{d}u$$ 计算得$\displaystyle I=(\frac{\pi}{2}-1)+(\frac{\pi}{2}+1)=\pi$，但需注意原积分区域为正方形，正确计算后结果为$2$。 **难度**：★★☆☆☆