📝 题目
### 第218题
\iint_{D} f(x, y) $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $f(x, y)= \begin{cases}x^{2} y, & 1 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant x, \\ 0, & \text { 其他，}\end{cases}$$
$$ D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+\right. $$
$\left.y^{2} \geqslant 2 x\right\}$ ．
建议答题时问 $\leqslant 7 \mathrm{~min}$ 解估$
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{49}{20}$ **解析**： 步骤1：区域$D$为$x^2+y^2\geq 2x$，即$(x-1)^2+y^2\geq 1$，是圆外区域。$f(x,y)$仅在$1\leq x\leq 2,0\leq y\leq x$非零，故积分区域为$D$与该矩形交集。 步骤2：积分$I=\iint_{D\cap\{1\leq x\leq 2,0\leq y\leq x\}} x^2y\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。在$x\in[1,2]$内，$y$从$0$到$x$，但需满足$(x-1)^2+y^2\geq 1$，即$y\geq \sqrt{1-(x-1)^2}$（当$x\in[0,2]$）。 步骤3：$\displaystyle I=\int_1^2\int_{\sqrt{1-(x-1)^2}}^x x^2y\,\mathrm{d}y\mathrm{d}x=\int_1^2 \frac{x^2}{2}(x^2-(1-(x-1)^2))\,\mathrm{d}x$ $$=\frac12\int_1^2 x^2(2x-1)\,\mathrm{d}x=\frac12\int_1^2 (2x^3-x^2)\,\mathrm{d}x=\frac12\left[\frac{x^4}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_1^2=\frac{49}{20}$$ **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
目标：确定积分区域
区域$D$由$x^2+y^2 \geq 2x$给出，即$(x-1)^2+y^2 \geq 1$，表示以$(1,0)$为圆心、半径为$1$的圆的外部。函数$f(x,y)$仅在$1 \leq x \leq 2$，$0 \leq y \leq x$时非零，因此实际积分区域为$D$与矩形$\{1 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq x\}$的交集。
公式：$$(x-1)^2+y^2 \geq 1$$
提示：注意圆外部与矩形交集
目标：转化积分表达式
积分$I = \iint_{D \cap \{1 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq x\}} x^2 y \, \mathrm{d}x \mathrm{d}y$。在$x \in [1,2]$内，$y$的下限由圆外条件$(x-1)^2 + y^2 \geq 1$决定，即$y \geq \sqrt{1-(x-1)^2}$（因为$y \geq 0$）；上限为$y = x$。因此积分化为：
$$I = \int_{1}^{2} \int_{\sqrt{1-(x-1)^2}}^{x} x^2 y \, \mathrm{d}y \mathrm{d}x.$$
公式：$$I = \int_{1}^{2} \int_{\sqrt{1-(x-1)^2}}^{x} x^2 y \, \mathrm{d}y \mathrm{d}x$$
提示：注意积分区域边界由圆和直线确定
目标：计算内层积分
先对$y$积分：
$$\int_{\sqrt{1-(x-1)^2}}^{x} x^2 y \, \mathrm{d}y = x^2 \cdot \frac{1}{2} \left[ y^2 \right]_{\sqrt{1-(x-1)^2}}^{x} = \frac{x^2}{2} \left( x^2 - (1-(x-1)^2) \right).$$
由于$(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$，则$1-(x-1)^2 = 2x - x^2$，所以括号内为$x^2 - (2x - x^2) = 2x^2 - 2x = 2x(x-1)$。因此内层积分结果为$\frac{x^2}{2} \cdot 2x(x-1) = x^3(x-1)$。
公式：$$\int y \, dy = \frac{1}{2}y^2$$
提示：注意积分上下限代入顺序
目标：计算外层积分
外层积分为：
$$I = \int_{1}^{2} x^3(x-1) \, \mathrm{d}x = \int_{1}^{2} (x^4 - x^3) \, \mathrm{d}x.$$
计算得：
$$\int_{1}^{2} x^4 \, \mathrm{d}x = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{1}^{2} = \frac{32}{5} - \frac{1}{5} = \frac{31}{5},$$
$$\int_{1}^{2} x^3 \, \mathrm{d}x = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2} = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}.$$
因此
$$I = \frac{31}{5} - \frac{15}{4} = \frac{124}{20} - \frac{75}{20} = \frac{49}{20}.$$
公式：$$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$
提示：注意积分上下限代入计算
目标：得出最终答案
$$\boxed{\displaystyle \frac{49}{20}}$$
公式：$$\iint_D f(x,y) \, dxdy = \int_{x_1}^{x_2} \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y) \, dy \, dx$$
提示：注意积分区域分段描述