kaoyan2advanced 高等数学 第216题

好的，我们先仔细看一下这个积分，它看起来是一个二重积分，但积分次序可能会有点问题，我们先按题目给的顺序来写：

题目是： $$ I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{1}^{y}\left(\mathrm{e}^{-x^{2}}+\mathrm{e}^{x} \sin x\right) \mathrm{d} x $$

注意这里内层积分的下限是1，上限是y，而y是从0到1的。也就是说，当y小于1时，积分上限小于下限，这会导致积分方向是反的。我们可以先处理这个次序问题。

**第一步：交换积分次序或调整符号**

对于固定的y∈[0,1]，x是从1到y，因为1 > y，所以： $$ \int_{1}^{y} f(x) dx = -\int_{y}^{1} f(x) dx $$ 因此原积分可以写成： $$ I = \int_{0}^{1} dy \left[ -\int_{y}^{1} \left( e^{-x^2} + e^x \sin x \right) dx \right] = -\int_{0}^{1} dy \int_{y}^{1} \left( e^{-x^2} + e^x \sin x \right) dx $$

**第二步：交换积分次序**

现在积分区域是：y从0到1，对每个y，x从y到1。 这个区域可以描述为：x从0到1，对每个x，y从0到x。 于是： $$ I = -\int_{x=0}^{1} \int_{y=0}^{x} \left( e^{-x^2} + e^x \sin x \right) dy \, dx $$

内层对y积分很简单，因为被积函数与y无关： $$ \int_{y=0}^{x} dy = x $$ 所以： $$ I = -\int_{0}^{1} x \left( e^{-x^2} + e^x \sin x \right) dx $$

**第三步：拆成两个积分**

$$ I = -\int_{0}^{1} x e^{-x^2} dx - \int_{0}^{1} x e^x \sin x \, dx $$

先算第一个： 令 $ u = x^2 $，则 $ du = 2x dx $，即 $ x dx = \frac{du}{2} $， 当x=0时u=0，x=1时u=1， $$ \int_0^1 x e^{-x^2} dx = \frac12 \int_0^1 e^{-u} du = \frac12 (1 - e^{-1}) $$

所以第一部分是： $$ -\frac12 (1 - e^{-1}) = -\frac12 + \frac{1}{2e} $$

**第四步：计算第二个积分**

$$ J = \int_0^1 x e^x \sin x \, dx $$ 这个可以用分部积分或者用欧拉公式。我们采用分部积分法。

设： $$ u = x e^x, \quad dv = \sin x \, dx $$ 则： $$ du = (e^x + x e^x) dx = e^x(1+x) dx, \quad v = -\cos x $$ 于是： $$ J = \left[ -x e^x \cos x \right]_0^1 + \int_0^1 e^x (1+x) \cos x \, dx $$ 代入上下限： 在x=1时：$ -1\cdot e^1 \cos 1 = -e \cos 1 $ 在x=0时：0 所以： $$ J = -e \cos 1 + \int_0^1 e^x (1+x) \cos x \, dx $$

现在计算剩下的积分： $$ K = \int_0^1 e^x (1+x) \cos x \, dx $$ 再用分部积分，这次令： $$ u = e^x(1+x), \quad dv = \cos x \, dx $$ 则： $$ du = \left[ e^x(1+x) + e^x \right] dx = e^x (x+2) dx, \quad v = \sin x $$ 所以： $$ K = \left[ e^x (1+x) \sin x \right]_0^1 - \int_0^1 e^x (x+2) \sin x \, dx $$ 在x=1时：$ e^1 (2) \sin 1 = 2e \sin 1 $ 在x=0时：0 于是： $$ K = 2e \sin 1 - \int_0^1 e^x (x+2) \sin x \, dx $$

现在把这个K代回J的表达式： $$ J = -e \cos 1 + 2e \sin 1 - \int_0^1 e^x (x+2) \sin x \, dx $$

我们注意到这个新积分和J有点像，可以再分部一次，或者直接把它和J建立方程。 令： $$ L = \int_0^1 e^x (x+2) \sin x \, dx $$ 对L再用分部积分，令： $$ u = e^x(x+2), \quad dv = \sin x \, dx $$ 则： $$ du = [e^x(x+2) + e^x] dx = e^x(x+3) dx, \quad v = -\cos x $$ 所以： $$ L = \left[ -e^x (x+2) \cos x \right]_0^1 + \int_0^1 e^x (x+3) \cos x \, dx $$ 代入上下限： x=1: $-e(3)\cos 1 = -3e\cos 1$ x=0: $-1\cdot 2 \cdot 1 = -2$ 所以： $$ L = (-3e\cos 1 + 2) + \int_0^1 e^x (x+3) \cos x \, dx $$

这样下去会越来越长，其实我们可以用更聪明的方法： 注意到 $ e^x \sin x $ 是 $ \operatorname{Im}(e^{(1+i)x}) $，所以： $$ \int x e^x \sin x \, dx = \operatorname{Im} \int x e^{(1+i)x} dx $$ 这样可以用公式快速算出定积分。

**第五步：用复数方法快速计算**

考虑： $$ \int_0^1 x e^{(1+i)x} dx $$ 用分部积分： 令 $ u = x $, $ dv = e^{(1+i)x} dx $，则 $ du = dx $, $ v = \frac{e^{(1+i)x}}{1+i} $ 所以： $$ \int_0^1 x e^{(1+i)x} dx = \left[ \frac{x e^{(1+i)x}}{1+i} \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{e^{(1+i)x}}{1+i} dx $$ 第一部分代入上下限： x=1: $\frac{1\cdot e^{1+i}}{1+i}$ x=0: 0 第二部分： $$ \int_0^1 e^{(1+i)x} dx = \frac{e^{1+i} - 1}{1+i} $$ 所以整体： $$ \int_0^1 x e^{(1+i)x} dx = \frac{e^{1+i}}{1+i} - \frac{e^{1+i} - 1}{(1+i)^2} $$ 注意 $(1+i)^2 = 2i$，而 $1+i = \sqrt{2} e^{i\pi/4}$。

先通分： $$ = \frac{e^{1+i}(1+i) - (e^{1+i} - 1)}{(1+i)^2} = \frac{e^{1+i} i + 1}{(1+i)^2} $$ 因为 $(1+i) - 1 = i$。

所以： $$ = \frac{1 + i e^{1+i}}{2i} $$ 乘以共轭化简： $$ = \frac{1}{2i} + \frac{e^{1+i}}{2} $$ 而 $\frac{1}{2i} = -\frac{i}{2}$，所以： $$ = -\frac{i}{2} + \frac{e^{1+i}}{2} $$

现在取虚部： $ e^{1+i} = e(\cos 1 + i\sin 1) $，所以它的虚部是 $ e\sin 1$，除以2得 $\frac{e\sin 1}{2}$。 而 $-\frac{i}{2}$ 的虚部是 $-\frac12$。

因此： $$ J = \int_0^1 x e^x \sin x \, dx = \frac{e\sin 1}{2} - \frac12 $$

**第六步：合并结果**

我们有： $$ I = -\frac12 + \frac{1}{2e} - J $$ 而 $ J = \frac{e\sin 1}{2} - \frac12$，所以： $$ I = -\frac12 + \frac{1}{2e} - \frac{e\sin 1}{2} + \frac12 $$ $-\frac12$和$+\frac12$抵消，得到： $$ I = \frac{1}{2e} - \frac{e\sin 1}{2} $$

因此最终答案是： $$ \boxed{\frac{1}{2e} - \frac{e\sin 1}{2}} $$

这样就完成了，过程虽然有点长，但每一步都是标准的积分技巧。