kaoyan2advanced 高等数学 第215题

好的，我们先分析题目，这是一个二重积分，积分区域是两个圆盘区域的差集，一个是半径为2的圆盘，中心在原点；另一个是半径为1的圆盘，中心在(0,-1)，并且我们要取大圆盘内去掉小圆盘内部的区域。被积函数是√(x²+y²) + x，这里显然用极坐标会比较方便。

**解答**：

首先，将积分区域用极坐标表示。 大圆：x² + y² ≤ 4，即 r ≤ 2。 小圆：x² + (y+1)² ≥ 1，即 r² + 2r sinθ + 1 ≥ 1，化简得 r(r + 2 sinθ) ≥ 0，由于 r ≥ 0，所以条件等价于 r ≥ -2 sinθ。 注意当 sinθ 为负时，-2 sinθ 为正，这个条件才真正限制 r 的下界。因此，对于 sinθ < 0 的角度，r 从 -2 sinθ 到 2；对于 sinθ ≥ 0，小圆条件自动满足（因为 r ≥ 0 ≥ -2 sinθ），所以 r 从 0 到 2。

被积函数在极坐标下为 r + r cosθ，面积元 dσ = r dr dθ。

于是积分化为： $$ I = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r = r_{\text{下限}}}^{2} (r + r\cos\theta) \cdot r \, dr d\theta = \int_{0}^{2\pi} \int_{r_{\text{下限}}}^{2} (r^2 + r^2 \cos\theta) \, dr d\theta $$

分两部分计算： 第一部分不含 cosθ，第二部分含 cosθ。

先处理角度区间： 当 θ ∈ [0, π) 时，sinθ ≥ 0，r下限=0； 当 θ ∈ [π, 2π) 时，sinθ < 0，r下限 = -2 sinθ。

于是： $$ I = \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2} r^2 (1+\cos\theta) \, dr d\theta + \int_{\pi}^{2\pi} \int_{-2\sin\theta}^{2} r^2 (1+\cos\theta) \, dr d\theta $$

先算第一部分： 内层对 r 积分： $$ \int_{0}^{2} r^2 dr = \frac{8}{3} $$ 外层： $$ \int_{0}^{\pi} (1+\cos\theta) d\theta = [\theta + \sin\theta]_{0}^{\pi} = \pi $$ 所以第一部分 = (8/3) * π = 8π/3。

第二部分： 内层： $$ \int_{-2\sin\theta}^{2} r^2 dr = \left[ \frac{r^3}{3} \right]_{-2\sin\theta}^{2} = \frac{8}{3} - \frac{(-2\sin\theta)^3}{3} = \frac{8}{3} + \frac{8\sin^3\theta}{3} $$ 注意这里 sinθ 在 [π, 2π] 是负的，所以 -2 sinθ 为正，立方后为负，但公式正确。

外层乘上 (1+cosθ)： $$ \frac{1}{3} \int_{\pi}^{2\pi} (8 + 8\sin^3\theta)(1+\cos\theta) d\theta = \frac{8}{3} \int_{\pi}^{2\pi} (1+\sin^3\theta)(1+\cos\theta) d\theta $$

展开： (1+ sin³θ)(1+ cosθ) = 1 + cosθ + sin³θ + sin³θ cosθ。

分别积分从 π 到 2π： ∫ 1 dθ = π ∫ cosθ dθ = sinθ 从 π 到 2π = 0 - 0 = 0 ∫ sin³θ dθ，可写为 sinθ(1-cos²θ)，在 [π,2π] 上对称性可知积分为 0（因为 sinθ 在半个周期内正负抵消）。 ∫ sin³θ cosθ dθ，令 u = sinθ，则 du = cosθ dθ，当 θ 从 π 到 2π，u 从 0 到 0，所以积分也是 0。

因此第二部分 = (8/3) * π = 8π/3。

两部分相加： $$ I = \frac{8\pi}{3} + \frac{8\pi}{3} = \frac{16\pi}{3} $$

**最终答案**： $$ \boxed{\frac{16\pi}{3}} $$

**难度**：★☆☆☆☆