kaoyan2advanced 高等数学 第214题

好的，我们先把题目中的积分区域和转换思路理清，然后一步步写出极坐标下的两种积分次序。题目中的区域 D 是单位正方形 [0,1]×[0,1]，我们要把它用极坐标表示，并写出两种顺序的二次积分。

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**第一步：区域分析**

直角坐标下： $$ D = \{(x,y) \mid 0 \le x \le 1,\ 0 \le y \le 1\} $$ 极坐标变换： $$ x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta $$ 面积元： $$ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta $$

这个正方形区域在极坐标下并不是简单的矩形，因为 r 和 θ 的范围会相互依赖。我们需要根据正方形边界来分段描述。

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**第二步：确定θ的范围**

正方形在第一象限，所以 θ 从 0 到 π/2。但在不同 θ 区间，r 的最大值由不同的边界决定：

- 当 θ 从 0 到 π/4 时，右侧边界是 x=1，即 $ r\cos\theta = 1 $，所以 r 上限为 $ 1/\cos\theta $。 - 当 θ 从 π/4 到 π/2 时，上侧边界是 y=1，即 $ r\sin\theta = 1 $，所以 r 上限为 $ 1/\sin\theta $。

r 的下限始终为 0。

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**第三步：第一种积分次序——先对 r 后对 θ**

根据上面的分段： $$ I = \int_{\theta=0}^{\pi/4} \int_{r=0}^{1/\cos\theta} f(r\cos\theta, r\sin\theta)\, r\, dr\, d\theta + \int_{\theta=\pi/4}^{\pi/2} \int_{r=0}^{1/\sin\theta} f(r\cos\theta, r\sin\theta)\, r\, dr\, d\theta $$

这就是第一种形式。

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**第四步：第二种积分次序——先对 θ 后对 r**

这次我们反过来，先固定 r，再考虑 θ 的范围。

正方形区域包含从原点出发、半径 r 的圆弧与正方形相交的部分。对于给定的 r：

- 如果 $ 0 \le r \le 1 $，则圆弧完全在正方形内，θ 从 0 到 π/2。 - 如果 $ 1 < r \le \sqrt{2} $，则圆弧只部分在正方形内，θ 的范围受限于 x=1 或 y=1 边界。此时： - 左边边界由 x=1 给出：$\theta_{\min} = \arccos(1/r)$ - 右边边界由 y=1 给出：$\theta_{\max} = \arcsin(1/r)$

因此第二种形式为： $$ I = \int_{r=0}^{1} \int_{\theta=0}^{\pi/2} f(r\cos\theta, r\sin\theta)\, r\, d\theta\, dr + \int_{r=1}^{\sqrt{2}} \int_{\theta=\arccos(1/r)}^{\arcsin(1/r)} f(r\cos\theta, r\sin\theta)\, r\, d\theta\, dr $$

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**最终答案**：

$$ \boxed{ \begin{aligned} &\text{形式一（先 }r\text{ 后 }\theta\text{）：}\\ &I=\int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{1/\cos\theta} f(r\cos\theta,r\sin\theta)\, r\, dr\, d\theta +\int_{\pi/4}^{\pi/2}\int_{0}^{1/\sin\theta} f(r\cos\theta,r\sin\theta)\, r\, dr\, d\theta\$$6pt] &\text{形式二（先 }\theta\text{ 后 }r\text{）：}\\ &I=\int_{0}^{1}\int_{0}^{\pi/2} f(r\cos\theta,r\sin\theta)\, r\, d\theta\, dr +\int_{1}^{\sqrt{2}}\int_{\arccos(1/r)}^{\arcsin(1/r)} f(r\cos\theta,r\sin\theta)\, r\, d\theta\, dr \end{aligned} } $$