kaoyan2advanced 高等数学 第24题
📝 题目
### 第24题
曲线 $y=x+\sqrt{x^{2}-x+1}$ 的斜渐近线方程为 $y=$ $\_\_\_\_$ －公众号：旗胜考研
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle 2x - \frac{1}{2}$ **解析**：步骤1：$\displaystyle k = \lim_{x \to +\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}\right) = 2$，$\displaystyle b = \lim_{x \to +\infty} (y - 2x) = \lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 - x + 1} - x \right) = -\frac{1}{2}$。 步骤2：当$x \to -\infty$时，$\displaystyle k = \lim_{x \to -\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to -\infty} \left(1 - \sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}\right) = 0$，不是斜渐近线。故斜渐近线为$\displaystyle y = 2x - \frac{1}{2}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定斜渐近线的斜率k
当$x \to +\infty$时，计算斜率$k = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{y}{x} = \lim\limits_{x \to +\infty} \left(1 + \sqrt{1 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}}\right) = 1 + 1 = 2$。
公式：$$k = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{y}{x}$$
提示：注意x趋向正无穷时根号内处理
步骤 2/4
目标：计算斜渐近线的截距b
计算$b = \lim\limits_{x \to +\infty} (y - 2x) = \lim\limits_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 - x + 1} - x\right)$。分子有理化：$\sqrt{x^2 - x + 1} - x = \dfrac{(x^2 - x + 1) - x^2}{\sqrt{x^2 - x + 1} + x} = \dfrac{-x + 1}{\sqrt{x^2 - x + 1} + x}$。当$x \to +\infty$时，分母~$2x$，分子~$-x$，故$b = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{-x}{2x} = -\dfrac{1}{2}$。
公式：$$b = \lim_{x \to +\infty} (y - kx)$$
提示：分子有理化后注意符号
步骤 3/4
目标：验证x→-∞的情况
当$x \to -\infty$时，$k = \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{y}{x} = \lim\limits_{x \to -\infty} \left(1 - \sqrt{1 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}}\right) = 1 - 1 = 0$，此时为水平渐近线而非斜渐近线，故不考虑。
提示：注意x→-∞时斜渐近线退化为水平渐近线
步骤 4/4
目标：写出斜渐近线方程
由$k=2$，$b=-\dfrac{1}{2}$得斜渐近线方程为$y = 2x - \dfrac{1}{2}$。
公式：$$y = kx + b$$
提示：注意k和b的计算顺序
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