kaoyan2advanced 高等数学 第25题
📝 题目
### 第25题
设曲线 $L$ 的参数方程为 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x(t)=\ln \tan \frac{t}{2}+\cos t, \\ y(t)=\sin t,\end{array}\right.$ 其中 $\displaystyle \frac{\pi}{2} 建议答题时问 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$
💡 答案解析
**答案**：$1$ **解析**：步骤1：$\displaystyle \frac{dx}{dt} = \frac{1}{\tan\frac{t}{2}} \cdot \sec^2\frac{t}{2} \cdot \frac{1}{2} - \sin t = \frac{1}{\sin t} - \sin t = \frac{\cos^2 t}{\sin t}$，$\displaystyle \frac{dy}{dt} = \cos t$，则$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{\cos t}{\frac{\cos^2 t}{\sin t}} = \tan t$。 步骤2：切线方程为$\displaystyle Y - \sin t = \tan t (X - (\ln\tan\frac{t}{2} + \cos t))$，令$Y=0$，得$\displaystyle X = \ln\tan\frac{t}{2} + \cos t - \frac{\sin t}{\tan t} = \ln\tan\frac{t}{2} + \cos t - \cos t = \ln\tan\frac{t}{2}$。则$P$点坐标$\displaystyle (\ln\tan\frac{t}{2}, 0)$，$M$点坐标$\displaystyle (\ln\tan\frac{t}{2} + \cos t, \sin t)$，距离$d = \sqrt{(\cos t)^2 + (\sin t)^2} = 1$。 **难度**：★★★☆☆