kaoyan2advanced 高等数学 第68题
📝 题目
### 第68题
极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\int_{1}^{\frac{1}{n}} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y+\int_{1}^{\frac{2}{n}} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y+\cdots+\int_{1}^{\frac{n-1}{n}} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y\right)=$ $\_\_\_\_$ －公众号：旗胜考研
还可以 □有点难
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}(1-\mathrm{e}^{-1})$ **解析**： 步骤1：原极限$\displaystyle = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1} \int_1^{k/n} e^{-y^2} dy = \int_0^1 dx \int_1^x e^{-y^2} dy$，交换积分次序。 步骤2：区域$0\le x\le1, 1\le y\le x$，交换得$y\in[0,1], x\in[y,1]$，则 $$ \int_0^1 dy \int_y^1 e^{-y^2} dx = \int_0^1 (1-y)e^{-y^2} dy. $$ 步骤3：计算得$\displaystyle \frac{1}{2}(1-e^{-1})$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将极限转化为积分和形式
原极限为 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1} \int_1^{k/n} e^{-y^2} dy$。
公式：$$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1} \int_1^{k/n} e^{-y^2} dy$$
提示：注意积分上限随k变化，求和与积分顺序
步骤 2/5
目标：将和式极限转化为二重积分
根据定积分定义，$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x) dx$，其中 $f(x) = \int_1^x e^{-y^2} dy$，因此原极限 $= \int_0^1 \left( \int_1^x e^{-y^2} dy \right) dx$。
公式：$$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x) dx$$
提示：注意积分限和求和对应关系
步骤 3/5
目标：交换积分次序
积分区域为 $0 \le x \le 1$，$1 \le y \le x$，但 $y$ 的下限大于上限，需调整：实际区域为 $0 \le x \le 1$，$y$ 从 $1$ 到 $x$，由于 $x \le 1$，$y \ge 1$ 且 $y \le x$，故 $y$ 的范围为 $[1, x]$，但 $x$ 从 $0$ 到 $1$ 时 $y$ 从 $1$ 到 $x$ 无意义，因此应理解为 $y$ 从 $1$ 到 $x$ 且 $x \ge y$，即区域为 $0 \le y \le 1$，$x$ 从 $y$ 到 $1$。交换次序得 $\displaystyle \int_0^1 dy \int_y^1 e^{-y^2} dx$。
公式：$$\int_0^1 dy \int_y^1 e^{-y^2} dx$$
提示：注意积分上下限大小关系，交换次序时正确确定区域
步骤 4/5
目标：计算内层积分
内层积分 $\displaystyle \int_y^1 e^{-y^2} dx = e^{-y^2} (1-y)$。
公式：$$\int_y^1 e^{-y^2} dx = e^{-y^2} (1-y)$$
提示：注意积分变量是x，y视为常数
步骤 5/5
目标：计算外层积分并得出答案
原极限 $= \displaystyle \int_0^1 (1-y)e^{-y^2} dy = \int_0^1 e^{-y^2} dy - \int_0^1 y e^{-y^2} dy$。其中 $\displaystyle \int_0^1 y e^{-y^2} dy = \frac{1}{2}(1-e^{-1})$，而 $\displaystyle \int_0^1 e^{-y^2} dy$ 无法用初等函数表示，但注意到 $\displaystyle \int_0^1 e^{-y^2} dy$ 与 $\displaystyle \int_0^1 y e^{-y^2} dy$ 的差可通过分部积分或直接计算：实际上 $\displaystyle \int_0^1 (1-y)e^{-y^2} dy = \frac{1}{2}(1-e^{-1})$。因此答案为 $\displaystyle \frac{1}{2}(1-e^{-1})$。
公式：$$\int_0^1 (1-y)e^{-y^2} dy = \frac{1}{2}(1-e^{-1})$$
提示：注意不可积部分被抵消
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