kaoyan2advanced 高等数学 第69题
📝 题目
### 第69题
区域 $D$ 为 $y=x^{5}, y=1, x=-1$ 所围成的平面区域，$f$ 连续，则积分 $I= \iint_{D} x\left[1+\sin y^{3} f\left(x^{4}+y^{4}\right)\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
建议荅题时问 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$
䇾題 区域
💡 答案解析
**答案**：$0$ **解析**： 步骤1：区域$D$由$y=x^5, y=1, x=-1$围成，关于原点对称？检查：$x$从$-1$到$1$，$y$从$x^5$到$1$，但$x=-1$为边界。 步骤2：被积函数$x[1+\sin y^3 f(x^4+y^4)]$中，$x$为奇函数，区域关于$y$轴对称？$x$范围$[-1,1]$，$y$范围对称？$x^5$为奇函数，$y=1$水平线，区域关于原点对称。 步骤3：奇函数在对称区域积分为0。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：步骤1：确定积分区域
区域 $D$ 由 $y=x^5$, $y=1$, $x=-1$ 围成。画出草图：$x$ 从 $-1$ 到 $1$，$y$ 从 $x^5$ 到 $1$。注意 $x^5$ 是奇函数，$y=1$ 是水平线，区域关于原点对称。
提示：注意x的范围从-1到1，y从x^5到1
步骤 2/4
目标：步骤2：分析被积函数的奇偶性
被积函数为 $x\left[1+\sin y^3 f(x^4+y^4)\right]$。其中 $x$ 是奇函数，$1$ 是偶函数，$\sin y^3 f(x^4+y^4)$ 关于 $x$ 是偶函数（因为 $x^4$ 和 $y^4$ 都是偶函数）。因此整体被积函数关于 $x$ 是奇函数。
提示：注意x是奇函数，其余部分关于x为偶函数
步骤 3/4
目标：步骤3：利用对称性简化积分
区域 $D$ 关于 $y$ 轴对称（$x$ 从 $-1$ 到 $1$，且 $y$ 的下边界 $x^5$ 是奇函数，上边界 $y=1$ 是常数，对称性成立）。奇函数在对称区域上的积分为零，故 $I=0$。
提示：注意验证区域对称性和被积函数奇偶性
步骤 4/4
目标：步骤4：得出答案
因此，积分 $I = \iint_{D} x\left[1+\sin y^{3} f\left(x^{4}+y^{4}\right)\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y = 0$。
提示：注意对称性导致积分为零
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