kaoyan2advanced 高等数学 第42题
📝 题目
### 第42题
$$ $\int_{0}^{2 \pi}\left|\sin ^{2} x-\cos ^{2} x\right| \mathrm{d} x=$ $$
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💡 答案解析
**答案**：$4$ **解析**：步骤1：$\sin^{2}x-\cos^{2}x = -\cos2x$，故$|\sin^{2}x-\cos^{2}x| = |\cos2x|$。步骤2：$\int_{0}^{2\pi}|\cos2x|dx$，周期为$\displaystyle \frac{\pi}{2}$，一个周期内$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}|\cos2x|dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\cos2x dx - \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\cos2x dx = \frac{1}{2}\sin2x\big|_{0}^{\frac{\pi}{4}} - \frac{1}{2}\sin2x\big|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2}(1-0) - \frac{1}{2}(0-1)=1$。步骤3：$[0,2\pi]$有4个周期，故积分$=4\times1=4$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简被积函数
利用三角恒等式 $\sin^2 x - \cos^2 x = -\cos 2x$，因此 $|\sin^2 x - \cos^2 x| = |\cos 2x|$。原积分化为 $\int_0^{2\pi} |\cos 2x| \, dx$。
公式：$$\sin^2 x - \cos^2 x = -\cos 2x$$
提示：注意绝对值处理，cos2x周期为π
步骤 2/5
目标：分析周期并计算一个周期内的积分
$|\cos 2x|$ 的周期为 $\frac{\pi}{2}$。在一个周期 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 内，$\cos 2x$ 在 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 非负，在 $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$ 非正。因此：
$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} |\cos 2x| \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos 2x \, dx - \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x \, dx$$
公式：$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} |\cos 2x| \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos 2x \, dx - \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x \, dx$$
提示：注意绝对值处理时符号变化
步骤 3/5
目标：计算一个周期内的积分值
计算得：
$$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} \sin 2x \bigg|_0^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2}(1 - 0) = \frac{1}{2}$$
$$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} \sin 2x \bigg|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2}(0 - 1) = -\frac{1}{2}$$
因此，一个周期内的积分值为 $\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}) = 1$。
公式：$$\int \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} \sin 2x + C$$
提示：注意绝对值分段处理，积分区间对称
步骤 4/5
目标：计算整个区间上的积分
区间 $[0, 2\pi]$ 的长度为 $2\pi$，而周期为 $\frac{\pi}{2}$，因此共有 $\frac{2\pi}{\pi/2} = 4$ 个完整周期。故原积分为 $4 \times 1 = 4$。
提示：注意周期为π/2，非π
步骤 5/5
目标：得出最终答案
$$\int_{0}^{2\pi} |\sin^2 x - \cos^2 x| \, dx = 4$$
公式：$$\int_{0}^{2\pi} |\sin^2 x - \cos^2 x| \, dx = 4$$
提示：注意绝对值处理，利用周期性和对称性简化计算。
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