kaoyan2advanced 高等数学 第92题
📝 题目
### 第92题
设 $\displaystyle x=\int_{0}^{y} \frac{\mathrm{~d} t}{\sqrt{1+4 t^{2}}}$ ，则 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{3} y}{\mathrm{~d} x^{3}}-4 \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}$ 等于 （A）0． （B） 1 ． （C）$\displaystyle \frac{4}{1+4 y^{2}}-4 \sqrt{1+4 y^{2}}$ ． （D）-1 ．
建议答题时问
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：由$\displaystyle x=\int_0^y\frac{dt}{\sqrt{1+4t^2}}$，两边对$x$求导得$\displaystyle 1=\frac{1}{\sqrt{1+4y^2}}\frac{dy}{dx}$，故$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\sqrt{1+4y^2}$。步骤2：再求导$\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{4y}{\sqrt{1+4y^2}}\frac{dy}{dx}=4y$。步骤3：$\displaystyle \frac{d^3y}{dx^3}=4\frac{dy}{dx}$，故$\displaystyle \frac{d^3y}{dx^3}-4\frac{dy}{dx}=0$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：步骤1：对给定积分方程两边求导，得到一阶导数
由 $\displaystyle x=\int_{0}^{y} \frac{\mathrm{~d} t}{\sqrt{1+4 t^{2}}}$，两边对 $x$ 求导，利用变上限积分求导公式得 $\displaystyle 1=\frac{1}{\sqrt{1+4 y^{2}}} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$，因此 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\sqrt{1+4 y^{2}}$。
公式：$$\frac{d}{dx}\int_{0}^{y(x)} f(t) dt = f(y(x)) \cdot y'(x)$$
提示：注意变上限积分求导时上限是函数
步骤 2/5
目标：步骤2：求二阶导数
对 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\sqrt{1+4 y^{2}}$ 两边再对 $x$ 求导，得 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}=\frac{4 y}{\sqrt{1+4 y^{2}}} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=4 y$。
公式：$$\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}=\frac{4 y}{\sqrt{1+4 y^{2}}} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=4 y$$
提示：注意隐函数求导时链式法则的应用
步骤 3/5
目标：步骤3：求三阶导数
对 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}=4 y$ 两边对 $x$ 求导，得 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{3} y}{\mathrm{~d} x^{3}}=4 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$。
公式：$$\frac{\mathrm{d}^{3} y}{\mathrm{~d} x^{3}}=4 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$$
提示：注意对隐函数求导时，y是x的函数
步骤 4/5
目标：步骤4：代入所求表达式并化简
将 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{3} y}{\mathrm{~d} x^{3}}=4 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ 代入 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{3} y}{\mathrm{~d} x^{3}}-4 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$，得 $\displaystyle 4 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-4 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=0$。
公式：$$\frac{\mathrm{d}^{3} y}{\mathrm{~d} x^{3}}=4 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$$
提示：注意代入时符号和系数不要出错
步骤 5/5
目标：步骤5：得出答案
因此，$\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{3} y}{\mathrm{~d} x^{3}}-4 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=0$，对应选项（A）。
公式：$$\frac{\mathrm{d}^{3} y}{\mathrm{~d} x^{3}}-4 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=0$$
提示：注意隐函数求导时链式法则的应用
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