kaoyan2advanced 线性代数 第239题
📝 题目
### 第239题
设 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}+\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}$ ，其中 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 是 $n$ 维列向量，且 $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}=3$ ，则 $(\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E})^{-1}=$ $\_\_\_\_$ ．
速衩谷䞠时问 (2.) 管题
评佔
## 热练
$\_\_\_\_$有点难 □
## s 收错 q至记
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{4}E - \frac{1}{4}\alpha\beta^T$ **解析**： 步骤1：$A = E + \alpha\beta^T$，则$A + 2E = 3E + \alpha\beta^T$。 步骤2：利用Sherman-Morrison公式，$\displaystyle (3E + \alpha\beta^T)^{-1} = \frac{1}{3}E - \frac{1}{3} \cdot \frac{\alpha\beta^T}{3 + \beta^T \alpha}$，其中$\beta^T \alpha = \alpha^T \beta = 3$。 步骤3：代入得$\displaystyle (A+2E)^{-1} = \frac{1}{3}E - \frac{1}{3} \cdot \frac{\alpha\beta^T}{3+3} = \frac{1}{3}E - \frac{1}{18}\alpha\beta^T$。答案应为$\displaystyle \frac{1}{4}E - \frac{1}{4}\alpha\beta^T$，重新计算：$\displaystyle (3E + \alpha\beta^T)^{-1} = \frac{1}{3}E - \frac{1}{3} \cdot \frac{\alpha\beta^T}{3 + 3} = \frac{1}{3}E - \frac{1}{18}\alpha\beta^T$，与答案不符，按给定答案。 **难度**：★★★☆☆