kaoyan2advanced 线性代数 第243题
📝 题目
### 第243题
设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{A}^{n} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．
建设谷题时问 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$
💡 答案解析
**答案**：$k_1(0,1,-1,0)^T + k_2(1,0,0,-1)^T$，$k_1, k_2$为任意常数 **解析**： 步骤1：$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$，易见$A$的秩为2，且$A^2 = 2A$，故$A^n = 2^{n-1}A$（$n \ge 1$）。 步骤2：$A^n x = 0$等价于$A x = 0$，解$A x = 0$。$A$的行简化阶梯形为$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$，得$x_1 + x_4 = 0$，$x_2 + x_3 = 0$。 步骤3：通解为$x = k_1(0,1,-1,0)^T + k_2(1,0,0,-1)^T$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析矩阵A的性质
计算矩阵 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ 的秩，易见第1行与第4行相同，第2行与第3行相同，且第1、2行线性无关，故 $\operatorname{rank}(\boldsymbol{A})=2$。进一步计算 $\boldsymbol{A}^2 = \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} = 2\boldsymbol{A}$，由数学归纳法可得 $\boldsymbol{A}^n = 2^{n-1}\boldsymbol{A}$（$n \ge 1$）。
公式：$$\boldsymbol{A}^n = 2^{n-1}\boldsymbol{A} \ (n \ge 1)$$
提示：注意矩阵秩的判定与幂运算规律
步骤 2/4
目标：化简方程
由于 $\boldsymbol{A}^n = 2^{n-1}\boldsymbol{A}$，且 $2^{n-1} \neq 0$，方程 $\boldsymbol{A}^n \boldsymbol{x} = \mathbf{0}$ 等价于 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \mathbf{0}$。因此只需解齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \mathbf{0}$。
公式：$$\boldsymbol{A}^n = 2^{n-1}\boldsymbol{A}$$
提示：注意A^n与A的等价条件
步骤 3/4
目标：求解齐次方程组
对矩阵 $\boldsymbol{A}$ 进行行简化阶梯形变换：$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$。得到约束方程：$x_1 + x_4 = 0$，$x_2 + x_3 = 0$。自由变量为 $x_3$ 和 $x_4$。
公式：$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$
提示：注意行简化时不要遗漏行变换
步骤 4/4
目标：写出通解
令 $x_3 = k_1$，$x_4 = k_2$，则 $x_2 = -k_1$，$x_1 = -k_2$。故通解为 $\boldsymbol{x} = k_1 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$，其中 $k_1, k_2$ 为任意常数。
提示：注意自由变量的选取与回代顺序
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。