💡 答案解析
**答案**：$k(1,1,1,1)^T$，$k$为任意常数 **解析**： 步骤1：$A$为4阶矩阵，$\alpha$是$Ax=0$的基础解系，则$r(A) = 3$，且$|A| = 0$。 步骤2：$A$的行列式$|A| = (a+3)(a-1)^3$，令$|A|=0$得$a=-3$或$a=1$。当$a=1$时，$r(A)=1$，不满足$r(A)=3$；当$a=-3$时，$r(A)=3$。 步骤3：$A^*$的秩：$r(A)=3$，则$r(A^*) = 1$。$A^* x = 0$的基础解系含3个向量，但$A^*$的列向量均为$Ax=0$的解的倍数，$A^*$的非零列与$\alpha$相关。由$AA^* = |A|E = 0$，知$A^*$的列向量是$Ax=0$的解，故$A^* x = 0$的通解为$k\alpha$，但$\alpha$是基础解系，含一个向量，通解应为$k\alpha$。答案$k(1,1,1,1)^T$，需验证$\alpha$是否为此形式。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
目标：确定矩阵A的秩
由题意，$\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系，故 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解空间维数为1，因此 $r(\boldsymbol{A}) = 4 - 1 = 3$，且 $|\boldsymbol{A}| = 0$。
公式：$$r(\boldsymbol{A}) = n - \dim(\text{解空间})$$
提示：注意基础解系维数与秩的关系
目标：计算行列式并确定参数a
计算 $\boldsymbol{A}$ 的行列式：$|\boldsymbol{A}| = (a+3)(a-1)^3$。令 $|\boldsymbol{A}|=0$，得 $a=-3$ 或 $a=1$。当 $a=1$ 时，$\boldsymbol{A}$ 所有元素均为1，$r(\boldsymbol{A})=1$，与 $r(\boldsymbol{A})=3$ 矛盾；当 $a=-3$ 时，$r(\boldsymbol{A})=3$，符合条件。故 $a=-3$。
公式：$$|\boldsymbol{A}| = (a+3)(a-1)^3$$
提示：注意a=1时秩为1，非3
目标：确定伴随矩阵的秩
由于 $r(\boldsymbol{A})=3$，且 $\boldsymbol{A}$ 为4阶矩阵，则 $r(\boldsymbol{A}^*) = 1$。因此 $\boldsymbol{A}^*\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系含有 $4-1=3$ 个线性无关的解向量。
公式：$$r(\boldsymbol{A}^*) = \begin{cases} n, & r(\boldsymbol{A}) = n \\ 1, & r(\boldsymbol{A}) = n-1 \\ 0, & r(\boldsymbol{A}) < n-1 \end{cases}$$
提示：注意n阶矩阵伴随矩阵秩的公式
目标：利用伴随矩阵性质寻找解
由 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^* = |\boldsymbol{A}|\boldsymbol{E} = \mathbf{0}$，可知 $\boldsymbol{A}^*$ 的每一列都是 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解。而 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系仅含一个向量 $\boldsymbol{\alpha}$，故 $\boldsymbol{A}^*$ 的所有列向量均与 $\boldsymbol{\alpha}$ 成比例，即 $\boldsymbol{A}^*$ 的列向量张成的空间为 $\operatorname{span}\{\boldsymbol{\alpha}\}$。
公式：$$\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^* = |\boldsymbol{A}|\boldsymbol{E} = \mathbf{0}$$
提示：注意零矩阵时伴随矩阵列向量均为解
目标：确定通解形式
由于 $r(\boldsymbol{A}^*)=1$，$\boldsymbol{A}^*\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解空间维数为3，但 $\boldsymbol{A}^*$ 的列向量均为 $\boldsymbol{\alpha}$ 的倍数，因此 $\boldsymbol{A}^*\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的通解为 $k\boldsymbol{\alpha}$，其中 $k$ 为任意常数。特别地，当 $a=-3$ 时，$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系为 $(1,1,1,1)^\mathrm{T}$，故通解为 $k(1,1,1,1)^\mathrm{T}$。
提示：注意A*的秩为1时列向量成比例