💡 答案解析
**答案**：$k(1, -2, 1)^T$，$k$为任意常数 **解析**： 步骤1：$A$不可逆，则$0$是特征值，对应的特征向量与$\alpha_1, \alpha_2$正交（实对称矩阵不同特征值特征向量正交）。 步骤2：$\alpha_1 = (1, a, -1)^T$，$\alpha_2 = (1, 4, 5)^T$，内积$\alpha_1 \cdot \alpha_2 = 1 \cdot 1 + a \cdot 4 + (-1) \cdot 5 = 1 + 4a - 5 = 4a - 4 = 0$，得$a=1$。 步骤3：设$\lambda=0$的特征向量为$x = (x_1, x_2, x_3)^T$，与$\alpha_1, \alpha_2$正交：$x_1 + x_2 - x_3 = 0$，$x_1 + 4x_2 + 5x_3 = 0$，解得$x = k(1, -2, 1)^T$。 步骤4：$Ax=0$的通解为$k(1, -2, 1)^T$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
目标：确定零特征值及其特征向量条件
由于矩阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆，则 $\det(\boldsymbol{A}) = 0$，故 $0$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征值。设 $\lambda = 0$ 对应的特征向量为 $\boldsymbol{x} = (x_1, x_2, x_3)^\mathrm{T}$。因为 $\boldsymbol{A}$ 是实对称矩阵，不同特征值对应的特征向量相互正交，所以 $\boldsymbol{x}$ 必须与 $\boldsymbol{\alpha}_1$ 和 $\boldsymbol{\alpha}_2$ 正交。
公式：$$\det(\boldsymbol{A}) = 0 \Rightarrow 0 \text{ 是特征值}$$
提示：注意实对称矩阵不同特征值特征向量正交
目标：利用正交性求参数 a
已知 $\boldsymbol{\alpha}_1 = (1, a, -1)^\mathrm{T}$，$\boldsymbol{\alpha}_2 = (1, 4, 5)^\mathrm{T}$。由正交条件 $\boldsymbol{\alpha}_1 \cdot \boldsymbol{\alpha}_2 = 0$ 得：
$$1 \cdot 1 + a \cdot 4 + (-1) \cdot 5 = 1 + 4a - 5 = 4a - 4 = 0$$
解得 $a = 1$。因此 $\boldsymbol{\alpha}_1 = (1, 1, -1)^\mathrm{T}$。
公式：$$\boldsymbol{\alpha}_1 \cdot \boldsymbol{\alpha}_2 = 0$$
提示：注意内积计算时对应分量相乘再求和
目标：建立齐次线性方程组并求解
由正交条件得方程组：
$$\begin{cases}
\boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{\alpha}_1 = x_1 + x_2 - x_3 = 0 \\
\boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{\alpha}_2 = x_1 + 4x_2 + 5x_3 = 0
\end{cases}$$
解此方程组：将第一式乘以 $-1$ 加到第二式得 $3x_2 + 6x_3 = 0$，即 $x_2 = -2x_3$。代入第一式得 $x_1 - 2x_3 - x_3 = 0$，即 $x_1 = 3x_3$。令 $x_3 = k$（$k$ 为任意常数），则 $\boldsymbol{x} = (3k, -2k, k)^\mathrm{T} = k(3, -2, 1)^\mathrm{T}$。
公式：$$\begin{cases} \boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{\alpha}_1 = x_1 + x_2 - x_3 = 0 \\ \boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{\alpha}_2 = x_1 + 4x_2 + 5x_3 = 0 \end{cases}$$
提示：注意正交条件对应内积为零
目标：验证并给出通解
由于 $\boldsymbol{A}$ 不可逆，$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 的解空间就是特征值 $0$ 的特征子空间，其维数为 $1$。因此通解为 $\boldsymbol{x} = k(3, -2, 1)^\mathrm{T}$，其中 $k$ 为任意常数。
提示：注意特征值0对应的特征向量方向