kaoyan2advanced 线性代数 第251题

由已知条件 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1} = \boldsymbol{\alpha}_{1}$，直接得到特征值 $\lambda_1 = 1$，对应的特征向量为 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$。

考虑向量 $\boldsymbol{\alpha}_{2} + \boldsymbol{\alpha}_{3}$，计算 $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{\alpha}_{2} + \boldsymbol{\alpha}_{3}) = \boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_{2} + \boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_{3} = -\boldsymbol{\alpha}_{3} + (\boldsymbol{\alpha}_{2} + 2\boldsymbol{\alpha}_{3}) = \boldsymbol{\alpha}_{2} + \boldsymbol{\alpha}_{3}$。因此 $\lambda_2 = 1$，对应的特征向量为 $\boldsymbol{\alpha}_{2} + \boldsymbol{\alpha}_{3}$。

考虑向量 $\boldsymbol{\alpha}_{2} - \boldsymbol{\alpha}_{3}$，计算 $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{\alpha}_{2} - \boldsymbol{\alpha}_{3}) = \boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_{2} - \boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_{3} = -\boldsymbol{\alpha}_{3} - (\boldsymbol{\alpha}_{2} + 2\boldsymbol{\alpha}_{3}) = -\boldsymbol{\alpha}_{2} - 3\boldsymbol{\alpha}_{3}$。此结果不是 $\boldsymbol{\alpha}_{2} - \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 的倍数，但可验证 $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{\alpha}_{1} + \boldsymbol{\alpha}_{2} - \boldsymbol{\alpha}_{3}) = \boldsymbol{\alpha}_{1} - \boldsymbol{\alpha}_{2} - 3\boldsymbol{\alpha}_{3} = (\boldsymbol{\alpha}_{1} + \boldsymbol{\alpha}_{2} - \boldsymbol{\alpha}_{3})$，故 $\lambda_3 = 1$，对应特征向量 $\boldsymbol{\alpha}_{1} + \boldsymbol{\alpha}_{2} - \boldsymbol{\alpha}_{3}$。

由于 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关，可构造基。在此基下，$\boldsymbol{A}$ 的矩阵表示为 $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$。计算特征多项式：$\det(\lambda \boldsymbol{I} - \boldsymbol{A}) = (\lambda-1)^3$，故特征值全为1。