kaoyan2advanced 线性代数 第252题

**答案**：$0$ **解析**： 步骤1：矩阵$A$与对角矩阵相似，则其Jordan标准形为对角阵，即每个特征值的代数重数等于几何重数。 步骤2：计算特征多项式$|\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda-3 & -2 & 2 \\ k & \lambda+1 & -k \\ -4 & -2 & \lambda+3 \end{vmatrix}$。 步骤3：将第二列加到第三列，得$\begin{vmatrix} \lambda-3 & -2 & 0 \\ k & \lambda+1 & \lambda+1-k \\ -4 & -2 & \lambda+1 \end{vmatrix}$，按第一行展开得$(\lambda-3)[(\lambda+1)(\lambda+1) - (-2)(\lambda+1-k)] + 2[k(\lambda+1) - (-4)(\lambda+1-k)]$。 步骤4：化简得$(\lambda-3)[(\lambda+1)^2 + 2(\lambda+1-k)] + 2[k(\lambda+1) + 4(\lambda+1-k)] = (\lambda-3)[\lambda^2+2\lambda+1+2\lambda+2-2k] + 2[k\lambda+k+4\lambda+4-4k] = (\lambda-3)(\lambda^2+4\lambda+3-2k) + 2[(k+4)\lambda + 4 - 3k]$。 步骤5：展开得$(\lambda-3)(\lambda^2+4\lambda+3-2k) = \lambda^3 + 4\lambda^2 + 3\lambda - 2k\lambda - 3\lambda^2 - 12\lambda - 9 + 6k = \lambda^3 + \lambda^2 - 9\lambda - 2k\lambda - 9 + 6k$，加上$2(k+4)\lambda + 8 - 6k$得$\lambda^3 + \lambda^2 + (-9 - 2k + 2k + 8)\lambda + (-9 + 6k + 8 - 6k) = \lambda^3 + \lambda^2 - \lambda - 1 = (\lambda-1)(\lambda+1)^2$。 步骤6：特征值为$1$（单根）和$-1$（二重根）。对于$\lambda = -1$，代入$A+E$，得$\begin{pmatrix}4 & 2 & -2 \\ -k & 0 & k \\ 4 & 2 & -2\end{pmatrix}$，秩为1时才能对角化，故需$k=0$。 **难度**：★★★★☆