kaoyan2advanced 线性代数 第253题

教材习题

📝 题目

### 第253题

\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵， $\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 是三个线性无关的三维列向量，其中 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 有解 $\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\beta}$ 有解 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\alpha}$ 有解 $\boldsymbol{\beta}$ ，则 $\boldsymbol{A} \sim$ $\_\_\_\_$ ． 䞠被答填时口$

💡 答案解析

**答案**：$\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$ **解析**： 步骤1：由$A\xi = 0$，知$\xi$是特征值0的特征向量。 步骤2：由$A\alpha = \beta$，$A\beta = \alpha$，得$A(\alpha + \beta) = \beta + \alpha$，故$\alpha + \beta$是特征值1的特征向量；$A(\alpha - \beta) = \beta - \alpha = -(\alpha - \beta)$，故$\alpha - \beta$是特征值-1的特征向量。 步骤3：在基$\xi, \alpha+\beta, \alpha-\beta$下，$A$的矩阵为$\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix}$，但题目要求$A \sim$某矩阵，即相似于$\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$（在基$\xi, \alpha, \beta$下）。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：步骤1：利用已知条件确定特征向量
由题设，$A\xi = 0$，所以$\xi$是矩阵$A$的属于特征值0的特征向量。
提示：注意特征向量非零
步骤 2/6
目标：步骤2：构造特征值1和-1的特征向量
已知$A\alpha = \beta$，$A\beta = \alpha$。计算$A(\alpha + \beta) = A\alpha + A\beta = \beta + \alpha = \alpha + \beta$，故$\alpha + \beta$是特征值1的特征向量。计算$A(\alpha - \beta) = A\alpha - A\beta = \beta - \alpha = -(\alpha - \beta)$，故$\alpha - \beta$是特征值-1的特征向量。
公式：$$A(\alpha + \beta) = \alpha + \beta, \quad A(\alpha - \beta) = -(\alpha - \beta)$$
提示：注意向量线性无关性确保非零
步骤 3/6
目标：步骤3：验证向量组的线性无关性
由于$\xi, \alpha, \beta$线性无关，则$\xi, \alpha+\beta, \alpha-\beta$也线性无关（因为$\alpha = \frac{1}{2}(\alpha+\beta) + \frac{1}{2}(\alpha-\beta)$，$\beta = \frac{1}{2}(\alpha+\beta) - \frac{1}{2}(\alpha-\beta)$，且$\xi$与它们无关）。因此这三个向量构成$\mathbb{R}^3$的一组基。
公式：$$\alpha = \frac{1}{2}(\alpha+\beta) + \frac{1}{2}(\alpha-\beta), \quad \beta = \frac{1}{2}(\alpha+\beta) - \frac{1}{2}(\alpha-\beta)$$
提示：注意线性无关向量组的线性组合仍可能无关
步骤 4/6
目标：步骤4：写出在基$\xi, \alpha+\beta, \alpha-\beta$下的矩阵
在基$\xi, \alpha+\beta, \alpha-\beta$下，$A$的矩阵为对角矩阵$\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix}$。
公式：$$A\xi=0, A(\alpha+\beta)=\alpha+\beta, A(\alpha-\beta)=-(\alpha-\beta)$$
提示：注意基向量的线性无关性
步骤 5/6
目标：步骤5：转化为原基$\xi, \alpha, \beta$下的矩阵
在基$\xi, \alpha, \beta$下，$A$的矩阵可通过相似变换得到。由于$\alpha = \frac{1}{2}(\alpha+\beta) + \frac{1}{2}(\alpha-\beta)$，$\beta = \frac{1}{2}(\alpha+\beta) - \frac{1}{2}(\alpha-\beta)$，且$\xi$不变，因此$A$在基$\xi, \alpha, \beta$下的矩阵为$\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$。
提示：注意基变换时坐标转换关系
步骤 6/6
目标：步骤6：得出答案
所以$A \sim \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$。
公式：$$A \sim \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$$
提示：注意矩阵相似变换的正确性

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