kaoyan2advanced 线性代数 第254题

已知 $\boldsymbol{A}^2 - 2\boldsymbol{A} = 3\boldsymbol{E}$，移项得 $\boldsymbol{A}^2 - 2\boldsymbol{A} - 3\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}$，即 $(\boldsymbol{A} - 3\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{E}) = \boldsymbol{0}$。设 $\lambda$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，则满足 $(\lambda - 3)(\lambda + 1) = 0$，解得 $\lambda = 3$ 或 $\lambda = -1$。

由 $r(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{E}) = 2$，且 $\boldsymbol{A}$ 是 $3$ 阶矩阵，则 $\boldsymbol{A} + \boldsymbol{E}$ 的零空间维数为 $3 - 2 = 1$。零空间对应特征值 $-1$ 的特征向量，故 $-1$ 的几何重数为 $1$。由于 $\boldsymbol{A}$ 是实对称矩阵，必可相似对角化，因此 $-1$ 的代数重数等于几何重数，即 $-1$ 的代数重数为 $1$？但注意：几何重数为 $1$ 时，代数重数可能大于几何重数，但实对称矩阵保证几何重数等于代数重数，故 $-1$ 的代数重数应为 $1$？然而题目中 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵，特征值只有 $3$ 和 $-1$，若 $-1$ 的代数重数为 $1$，则 $3$ 的代数重数为 $2$，但此时 $r(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{E})$ 应等于 $3 - 1 = 2$，与已知一致。但需验证：若 $-1$ 的代数重数为 $2$，则几何重数也为 $2$，则 $r(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{E}) = 1$，与题设矛盾。因此 $-1$ 的代数重数为 $1$，$3$ 的代数重数为 $2$。

实际上，由 $r(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{E}) = 2$ 可知，$\boldsymbol{A} + \boldsymbol{E}$ 的零空间维数为 $1$，即特征值 $-1$ 的几何重数为 $1$。由于实对称矩阵可对角化，几何重数等于代数重数，故 $-1$ 的代数重数为 $1$。那么剩下的两个特征值应为 $3$，即 $3$ 的代数重数为 $2$。因此相似对角矩阵为 $\operatorname{diag}(3, 3, -1)$。但需检查：若 $3$ 的代数重数为 $2$，则 $\boldsymbol{A} - 3\boldsymbol{E}$ 的秩？题目未给，但由 $\boldsymbol{A}^2 - 2\boldsymbol{A} = 3\boldsymbol{E}$ 可推出 $\boldsymbol{A}$ 的特征值只能是 $3$ 或 $-1$，且 $\boldsymbol{A}$ 可对角化，故上述分配合理。

综上，$\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $3$（二重）和 $-1$（一重），故与 $\boldsymbol{A}$ 相似的对角矩阵为 $\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$。