kaoyan2advanced 线性代数 第255题

教材习题

📝 题目

### 第255题

设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}0 & -2 & 2 \\ 2 & 4 & -2 \\ a & 2 & 0\end{array}\right]$ 有二重特征值，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

支似容题时门

## 评结

管暄区域 sul错暫记

💡 答案解析

**答案**：$2$ **解析**： 步骤1：计算特征多项式$|\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda & 2 & -2 \\ -2 & \lambda-4 & 2 \\ -a & -2 & \lambda \end{vmatrix}$。 步骤2：将第二行乘以-1加到第一行？或直接展开：按第一行展开得$\lambda[(\lambda-4)\lambda - 2 \cdot (-2)] - 2[(-2)\lambda - 2(-a)] + (-2)[(-2)(-2) - (\lambda-4)(-a)] = \lambda(\lambda^2 - 4\lambda + 4) - 2(-2\lambda + 2a) - 2(4 + a\lambda - 4a) = \lambda(\lambda-2)^2 + 4\lambda - 4a - 8 - 2a\lambda + 8a = \lambda(\lambda-2)^2 + (4 - 2a)\lambda + (4a - 8)$。 步骤3：展开$\lambda(\lambda-2)^2 = \lambda^3 - 4\lambda^2 + 4\lambda$，总和为$\lambda^3 - 4\lambda^2 + (8 - 2a)\lambda + (4a - 8)$。 步骤4：有二重特征值，则特征多项式有重根。设重根为$r$，则$r$满足$p(r)=0$且$p'(r)=0$。$p'(\lambda)=3\lambda^2 - 8\lambda + (8-2a)$。 步骤5：尝试$r=2$，则$p(2)=8 - 16 + 16 - 4a + 4a - 8 = 0$恒成立，$p'(2)=12 - 16 + 8 - 2a = 4 - 2a = 0$，得$a=2$。 **难度**：★★★★☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：计算特征多项式
计算 $|\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}| = \begin{vmatrix} \lambda & 2 & -2 \\ -2 & \lambda-4 & 2 \\ -a & -2 & \lambda \end{vmatrix}$。按第一行展开： $$\lambda \begin{vmatrix} \lambda-4 & 2 \\ -2 & \lambda \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ -a & \lambda \end{vmatrix} + (-2) \begin{vmatrix} -2 & \lambda-4 \\ -a & -2 \end{vmatrix}$$ 计算各子式： $$\lambda[(\lambda-4)\lambda - 2 \cdot (-2)] = \lambda(\lambda^2 - 4\lambda + 4) = \lambda(\lambda-2)^2$$ $$-2[(-2)\lambda - 2(-a)] = -2(-2\lambda + 2a) = 4\lambda - 4a$$ $$-2[(-2)(-2) - (\lambda-4)(-a)] = -2[4 + a(\lambda-4)] = -8 - 2a\lambda + 8a$$ 相加得： $$\lambda(\lambda-2)^2 + (4\lambda - 4a) + (-8 - 2a\lambda + 8a) = \lambda^3 - 4\lambda^2 + (8 - 2a)\lambda + (4a - 8)$$
公式：$$|\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}| = \begin{vmatrix} \lambda & 2 & -2 \\ -2 & \lambda-4 & 2 \\ -a & -2 & \lambda \end{vmatrix}$$
提示：展开时注意符号和子式顺序
步骤 2/4
目标：设特征多项式为p(λ)并求导
令 $p(\lambda) = \lambda^3 - 4\lambda^2 + (8 - 2a)\lambda + (4a - 8)$。由于矩阵有二重特征值，则 $p(\lambda)$ 有重根，设重根为 $r$，则 $p(r)=0$ 且 $p'(r)=0$。求导得： $$p'(\lambda) = 3\lambda^2 - 8\lambda + (8 - 2a)$$
公式：$$p'(\lambda) = 3\lambda^2 - 8\lambda + (8 - 2a)$$
提示：注意求导时常数项导数为0
步骤 3/4
目标：尝试重根r=2
观察 $p(\lambda)$ 中 $\lambda(\lambda-2)^2$ 项，猜测 $r=2$ 可能是重根。代入验证： $$p(2) = 8 - 16 + (16 - 4a) + (4a - 8) = 0$$ 恒成立。再代入导数： $$p'(2) = 12 - 16 + (8 - 2a) = 4 - 2a$$ 令 $p'(2)=0$ 得 $4 - 2a = 0$，解得 $a=2$。
公式：$$p(2) = 8 - 16 + (16 - 4a) + (4a - 8) = 0$$
提示：注意重根需同时满足函数值和导数为0
步骤 4/4
目标：验证二重特征值
当 $a=2$ 时，$p(\lambda) = \lambda^3 - 4\lambda^2 + 4\lambda = \lambda(\lambda-2)^2$，特征值为 $\lambda_1=0$（单根），$\lambda_2=2$（二重根），满足条件。
公式：$$p(\lambda) = \lambda^3 - 4\lambda^2 + 4\lambda = \lambda(\lambda-2)^2$$
提示：注意二重特征值需验证代数重数

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