kaoyan2advanced 线性代数 第256题
📝 题目
### 第256题
已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶方阵，其特征值分别为 $1,2,-3$ ，则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 中主对角线元素的代数余子式之和 $A_{11}+A_{22}+A_{33}=$ $\_\_\_\_$。 掉似荅题时门 神在 䫞练 还可以
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💡 答案解析
**答案**：$-5$ **解析**： 步骤1：$A$的特征值为$1,2,-3$，则$A$的伴随矩阵$A^*$的特征值为$\displaystyle \frac{|A|}{\lambda}$，其中$|A|=1 \cdot 2 \cdot (-3) = -6$。 步骤2：$A^*$的特征值为$-6, -3, 2$。 步骤3：$A_{11}+A_{22}+A_{33} = \text{tr}(A^*) = -6 + (-3) + 2 = -7$？注意：$A^*$的迹等于特征值之和，即$-6-3+2=-7$。但$A_{11}+A_{22}+A_{33}$是$A$的主子式之和，等于$A^*$的迹，故为$-7$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：计算矩阵A的行列式
已知A的特征值为1, 2, -3，则行列式|A|等于特征值的乘积：|A| = 1 × 2 × (-3) = -6。
公式：$$|\boldsymbol{A}| = \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3$$
提示：特征值乘积即行列式
步骤 2/5
目标：求伴随矩阵A*的特征值
伴随矩阵A*的特征值与A的特征值λ满足关系：μ = |A| / λ。因此，A*的特征值分别为：μ1 = -6/1 = -6，μ2 = -6/2 = -3，μ3 = -6/(-3) = 2。
公式：$$\mu = \frac{|\boldsymbol{A}|}{\lambda}$$
提示：注意特征值乘积等于行列式
步骤 3/5
目标：理解A11+A22+A33与A*迹的关系
代数余子式A_{ii}是A*的主对角线元素，因此A_{11}+A_{22}+A_{33}等于A*的迹，即tr(A*) = 所有特征值之和。
公式：$$A_{11}+A_{22}+A_{33}=\operatorname{tr}(A^*)$$
提示：A*主对角线元素即A的代数余子式
步骤 4/5
目标：计算A*的迹
tr(A*) = (-6) + (-3) + 2 = -7。
公式：$$\operatorname{tr}(\boldsymbol{A}^*) = \lambda_1\lambda_2 + \lambda_1\lambda_3 + \lambda_2\lambda_3$$
提示：注意A*的迹等于特征值两两乘积之和
步骤 5/5
目标：得出最终答案
因此，A_{11}+A_{22}+A_{33} = -7。
公式：$$A_{11}+A_{22}+A_{33} = \lambda_1\lambda_2 + \lambda_1\lambda_3 + \lambda_2\lambda_3$$
提示：注意代数余子式与特征值的关系
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