kaoyan2advanced 线性代数 第258题
📝 题目
### 第258题
已知二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=a x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3}$ 的规范形是 $y_{1}^{2}+ y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$ ，则 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．
建议荅题时问
💡 答案解析
**答案**：$a < -1$ **解析**： 步骤1：二次型矩阵$A = \begin{pmatrix}a & 1 & 1 \\ 1 & a & -1 \\ 1 & -1 & a\end{pmatrix}$。 步骤2：规范形为$y_1^2 + y_2^2 - y_3^2$，即正惯性指数为2，负惯性指数为1，故$A$的特征值两正一负。 步骤3：计算特征多项式$|\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda-a & -1 & -1 \\ -1 & \lambda-a & 1 \\ -1 & 1 & \lambda-a \end{vmatrix}$。 步骤4：将第二行加到第三行，得$\begin{vmatrix} \lambda-a & -1 & -1 \\ -1 & \lambda-a & 1 \\ -2 & \lambda-a+1 & \lambda-a+1 \end{vmatrix}$，再将第三列减去第二列，得$\begin{vmatrix} \lambda-a & -1 & 0 \\ -1 & \lambda-a & 1-\lambda+a \\ -2 & \lambda-a+1 & 0 \end{vmatrix}$，按第三列展开得$(1-\lambda+a)[(-1)(\lambda-a+1) - (-2)(-1)] = (1-\lambda+a)[-(\lambda-a+1) - 2] = (1-\lambda+a)(-\lambda+a-3)$。 步骤5：特征多项式为$(\lambda - a - 1)(\lambda - a + 3)(\lambda - a + ?)$需完整：实际计算得$(\lambda - a - 1)^2(\lambda - a + 2)$？重新计算：原行列式可化为$(\lambda - a - 1)^2(\lambda - a + 2)$，特征值为$a+1$（二重）和$a-2$（单根）。 步骤6：两正一负，则$a+1 > 0$且$a-2 < 0$，或$a+1 < 0$且$a-2 > 0$（不可能），故$-1 < a < 2$。但规范形为$y_1^2+y_2^2-y_3^2$，需正特征值两个，负一个，故$a+1 > 0$且$a-2 < 0$，即$-1 < a < 2$。 **难度**：★★★★☆