kaoyan2advanced 线性代数 第259题

矩阵 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 1\end{bmatrix}$ 的特征多项式为 $|\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=\begin{vmatrix}\lambda-1 & -1 & 2 \\ -1 & \lambda+2 & -1 \\ 2 & -1 & \lambda-1\end{vmatrix}$。计算行列式： $|\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}| = (\lambda-1)\begin{vmatrix}\lambda+2 & -1 \\ -1 & \lambda-1\end{vmatrix} - (-1)\begin{vmatrix}-1 & -1 \\ 2 & \lambda-1\end{vmatrix} + 2\begin{vmatrix}-1 & \lambda+2 \\ 2 & -1\end{vmatrix}$ $= (\lambda-1)[(\lambda+2)(\lambda-1)-1] + [(-1)(\lambda-1)+2] + 2[1-2(\lambda+2)]$ $= (\lambda-1)(\lambda^2+\lambda-3) + (-\lambda+3) + 2(-2\lambda-3)$ $= \lambda^3+\lambda^2-3\lambda-\lambda^2-\lambda+3 -\lambda+3 -4\lambda-6$ $= \lambda^3 -9\lambda = \lambda(\lambda^2-9) = \lambda(\lambda-3)(\lambda+3)$ 解得特征值为 $\lambda_1=3,\ \lambda_2=-3,\ \lambda_3=0$。因此，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的正惯性指数为1（正特征值个数），负惯性指数为1（负特征值个数），零指数为1（零特征值个数）。

二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}=3x_1^2+ax_2^2$ 对应的矩阵为 $\boldsymbol{B}=\begin{bmatrix}3 & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$。

由于矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 合同，根据惯性定理，合同矩阵具有相同的正惯性指数和负惯性指数。因此，$\boldsymbol{B}$ 的正惯性指数必须为1，负惯性指数必须为1。

矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的特征值为 $3,\ a,\ 0$。其中 $3>0$ 对应一个正特征值，$0$ 对应零特征值。要使得负惯性指数为1，必须有一个负特征值，即 $a<0$。同时，正惯性指数为1已经由 $3$ 满足，且 $a$ 不能为零（否则零特征值个数增加，改变惯性指数）。因此，$a$ 的取值范围为 $a<0$。

故 $a$ 的取值范围为 $a<0$。