kaoyan2advanced 线性代数 第260题

教材习题

📝 题目

### 第260题

二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}$ 在正交变换下的标准形是 $\_\_\_\_$ ．

💡 答案解析

**答案**：$2y_1^2 - 2y_2^2$ **解析**： 步骤1：二次型矩阵$A = \begin{pmatrix}0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0\end{pmatrix}$。 步骤2：特征多项式$|\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda & -1 & -2 \\ -1 & \lambda & 0 \\ -2 & 0 & \lambda \end{vmatrix} = \lambda(\lambda^2) - (-1)(-\lambda) + (-2)(2\lambda) = \lambda^3 - \lambda - 4\lambda = \lambda^3 - 5\lambda = \lambda(\lambda^2-5)$，特征值为$0, \sqrt{5}, -\sqrt{5}$。 步骤3：正交变换下的标准形为$\sqrt{5}y_2^2 - \sqrt{5}y_3^2$，但通常写为$2y_1^2 - 2y_2^2$？因题目可能期望整数系数，实际特征值非整数，故标准形为$\sqrt{5}y_1^2 - \sqrt{5}y_2^2$。但常见答案给出$2y_1^2 - 2y_2^2$，需检查：可能矩阵有误？重新计算特征值：$\lambda^3 - 5\lambda = 0$，得$\lambda=0, \pm\sqrt{5}$，故标准形为$\sqrt{5}y_1^2 - \sqrt{5}y_2^2$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：写出二次型矩阵
二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=2x_1x_2+4x_1x_3$ 对应的矩阵 $A$ 满足 $f=\mathbf{x}^T A\mathbf{x}$，其中 $A$ 为对称矩阵。根据二次型系数，$x_1x_2$ 系数为2，故 $a_{12}=a_{21}=1$；$x_1x_3$ 系数为4，故 $a_{13}=a_{31}=2$；其余项系数为0。因此 $A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0\end{pmatrix}$。
公式：$$f=\mathbf{x}^T A\mathbf{x}$$
提示：注意交叉项系数需除以2
步骤 2/5
目标：计算特征多项式
特征多项式 $|\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda & -1 & -2 \\ -1 & \lambda & 0 \\ -2 & 0 & \lambda \end{vmatrix}$。按第一行展开：$\lambda \cdot \begin{vmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ -2 & \lambda \end{vmatrix} + (-2) \cdot \begin{vmatrix} -1 & \lambda \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = \lambda \cdot \lambda^2 + 1 \cdot (-\lambda) -2 \cdot (2\lambda) = \lambda^3 - \lambda - 4\lambda = \lambda^3 - 5\lambda = \lambda(\lambda^2-5)$。
公式：$$|\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda & -1 & -2 \\ -1 & \lambda & 0 \\ -2 & 0 & \lambda \end{vmatrix} = \lambda^3 - 5\lambda$$
提示：注意行列式展开时符号和系数
步骤 3/5
目标：求解特征值
令特征多项式等于零：$\lambda(\lambda^2-5)=0$，解得特征值为 $\lambda_1=0,\ \lambda_2=\sqrt{5},\ \lambda_3=-\sqrt{5}$。
公式：$$\lambda(\lambda^2-5)=0$$
提示：注意特征值顺序不影响标准形
步骤 4/5
目标：写出正交变换下的标准形
在正交变换下，二次型化为标准形 $\lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \lambda_3 y_3^2 = 0 \cdot y_1^2 + \sqrt{5} y_2^2 - \sqrt{5} y_3^2 = \sqrt{5} y_2^2 - \sqrt{5} y_3^2$。通常将非零特征值对应的平方项按顺序写出，即 $\sqrt{5} y_1^2 - \sqrt{5} y_2^2$。
公式：$$\lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \lambda_3 y_3^2 = \sqrt{5} y_1^2 - \sqrt{5} y_2^2$$
提示：注意特征值顺序与标准形对应
步骤 5/5
目标：答案
标准形为 $\sqrt{5} y_1^2 - \sqrt{5} y_2^2$。但题目答案给出 $2y_1^2 - 2y_2^2$，可能为近似或笔误，实际应为 $\sqrt{5} y_1^2 - \sqrt{5} y_2^2$。
公式：$$\lambda = \pm \sqrt{5}$$
提示：注意正交变换下特征值对应标准形系数

📷 拍照上传批改

拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。
← 第259题 返回列表 第261题 →