kaoyan2advanced 线性代数 第261题
📝 题目
### 第261题
若二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\right) \boldsymbol{x}$ 为正定的，其中 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & t\end{array}\right]$ ，则 $t$ 满足的条件为 $\_\_\_\_$ ．
達似荅境时风
## （18）置賭頁区域
## 辞佔
## 趣练
还可以 □不会
💡 答案解析
**答案**：$t \neq 1$ **解析**： 步骤1：二次型正定，则$A^T A$正定，等价于$A$列满秩。 步骤2：$A = \begin{pmatrix}1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & t\end{pmatrix}$，计算行列式$|A| = 1 \cdot (0 \cdot t - 1 \cdot 1) - 1 \cdot (1 \cdot t - 1 \cdot 0) + 2 \cdot (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = -1 - t + 2 = 1 - t$。 步骤3：$A$列满秩当且仅当$|A| \neq 0$，即$t \neq 1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：步骤1：理解正定二次型的条件
二次型 $f(x_1,x_2,x_3) = \boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A})\boldsymbol{x}$ 为正定，则矩阵 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$ 是正定矩阵。由于 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$ 是实对称矩阵，其正定性等价于 $\boldsymbol{A}$ 列满秩（即 $\boldsymbol{A}$ 的列向量线性无关）。
提示：注意A^TA正定性等价于A列满秩
步骤 2/4
目标：步骤2：写出矩阵A并计算行列式
已知 $\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & t \end{bmatrix}$。计算行列式 $|\boldsymbol{A}|$：
$$|\boldsymbol{A}| = 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & t \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & t \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (0 \cdot t - 1 \cdot 1) - 1 \cdot (1 \cdot t - 1 \cdot 0) + 2 \cdot (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = -1 - t + 2 = 1 - t$$
公式：$$|\boldsymbol{A}| = 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & t \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & t \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}$$
提示：按第一行展开时注意符号交替
步骤 3/4
目标：步骤3：列满秩的条件
矩阵 $\boldsymbol{A}$ 列满秩当且仅当其行列式不为零，即 $|\boldsymbol{A}| \neq 0$。因此 $1 - t \neq 0$，解得 $t \neq 1$。
公式：$$|\boldsymbol{A}| \neq 0$$
提示：注意列满秩等价于行列式非零
步骤 4/4
目标：步骤4：给出最终答案
所以 $t$ 满足的条件为 $t \neq 1$。
提示：注意二次型正定要求所有顺序主子式大于0
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