kaoyan2advanced 线性代数 第262题
📝 题目
### 第262题
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & a+2 \\ 1 & a & -2\end{array}\right]$ 和 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & a+1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$ 等价，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ． □ 建衩莫要新日评後
## 甕练
$\_\_\_\_$
还可以
□ □不会 委検書 ＂百掌で
💡 答案解析
**答案**：$1$ **解析**： 步骤1：矩阵等价即秩相等。$B$的秩为2（因有一个零特征值），故$r(A)=2$。 步骤2：计算$A$的行列式$|A| = \begin{vmatrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & a+2 \\ 1 & a & -2\end{vmatrix}$。 步骤3：第一行乘以-2加到第二行，得$\begin{vmatrix}1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & a \\ 1 & a & -2\end{vmatrix}$，再第一行乘以-1加到第三行，得$\begin{vmatrix}1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & a \\ 0 & a-2 & -3\end{vmatrix} = 1 \cdot [(-1)(-3) - a(a-2)] = 3 - a(a-2) = -a^2 + 2a + 3$。 步骤4：令$|A|=0$，得$-a^2+2a+3=0$，解得$a=3$或$a=-1$。但需验证秩为2，当$a=3$时，$A$中二阶子式$\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 2 & 3\end{vmatrix} = -1 \neq 0$，秩为2；当$a=-1$时，同样秩为2。但题目可能只有一个解，常见答案为$a=1$？检查：$B$中$a+1$可能为零？$B$的秩为2，则$a+1 \neq 0$，即$a \neq -1$，故$a=3$。 **难度**：★★★☆☆