kaoyan2advanced 线性代数 第265题

教材习题

📝 题目

### 第265题

已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll} & \\ & 1 \\ 1 & \end{array}\right]$ 和 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}2 & & \\ & 1 & \\ & & -2\end{array}\right]$ 合同，求一个使 $\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C}=\boldsymbol{B}$ 的可逆矩阵 $\boldsymbol{C}=$ $\_\_\_\_$ ． 建社荅题时间 $\leqslant 4 \mathrm{~min}$ 禋估 熟练 还可以 ${ }_{\text {有点难 }}$ 不会

## 诜 择 题

💡 答案解析

**答案**：$\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ **解析**： 步骤1：$A = \begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{pmatrix}$。 步骤2：求可逆矩阵$C$使$C^T A C = B$，即合同变换。$A$的特征值为$1, 1, -1$（计算得），$B$的特征值为$2, 1, -2$，合同需正负惯性指数相同，此处$A$正惯性指数2，负1；$B$正2，负1，故合同。 步骤3：取$C = \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$，则$C^T A C = \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}$，不匹配。需重新构造：令$C = \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1\end{pmatrix}$，则$C^T A C = \begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{pmatrix}$。 **难度**：★★★★☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：步骤1：明确矩阵形式
由题目，$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}$，$\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{pmatrix}$。
提示：注意矩阵元素位置对应
步骤 2/5
目标：步骤2：验证合同条件
计算$\boldsymbol{A}$的特征值：$|\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}|=\begin{vmatrix}\lambda & 0 & -1 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ -1 & 0 & \lambda\end{vmatrix}=(\lambda-1)(\lambda^2-1)=(\lambda-1)^2(\lambda+1)$，特征值为$1,1,-1$，正惯性指数为2，负惯性指数为1。$\boldsymbol{B}$的特征值为$2,1,-2$，正惯性指数为2，负惯性指数为1，故合同。
公式：$$|\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}|=(\lambda-1)(\lambda^2-1)=(\lambda-1)^2(\lambda+1)$$
提示：注意计算特征值时行列式展开要仔细
步骤 3/5
目标：步骤3：构造可逆矩阵$\boldsymbol{C}$
考虑将$\boldsymbol{A}$通过合同变换化为对角形。先对$\boldsymbol{A}$进行配方法：$\boldsymbol{A}$对应的二次型为$f(x_1,x_2,x_3)=2x_1x_3+x_2^2$。令$\begin{cases}y_1=x_1+x_3 \\ y_2=x_2 \\ y_3=x_1-x_3\end{cases}$，则$f=\frac{1}{2}(y_1^2-y_3^2)+y_2^2$，即$f=\frac{1}{2}y_1^2+y_2^2-\frac{1}{2}y_3^2$。变换矩阵为$\boldsymbol{P}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1\end{pmatrix}$，则$\boldsymbol{P}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{pmatrix}$。
公式：$$f(x_1,x_2,x_3)=2x_1x_3+x_2^2=\frac{1}{2}y_1^2+y_2^2-\frac{1}{2}y_3^2$$
提示：注意配方法中线性变换的系数
步骤 4/5
目标：步骤4：验证结果
计算$\boldsymbol{P}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}$：$\boldsymbol{P}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1\end{pmatrix}^\mathrm{T}\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{pmatrix}=B$。
公式：$$\boldsymbol{P}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}$$
提示：注意矩阵乘法顺序和转置
步骤 5/5
目标：步骤5：得出答案
因此，可逆矩阵$\boldsymbol{C}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1\end{pmatrix}$。
提示：注意矩阵元素位置和符号

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