kaoyan2advanced 线性代数 第266题
📝 题目
### 第266题
D=$\left|\begin{array}{cccc}a^{2} & (a+1)^{2} & (a+2)^{2} & (a+3)^{2} \\ b^{2} & (b+1)^{2} & (b+2)^{2} & (b+3)^{2} \\ c^{2} & (c+1)^{2} & (c+2)^{2} & (c+3)^{2} \\ d^{2} & (d+1)^{2} & (d+2)^{2} & (d+3)^{2}\end{array}\right|=$$ （A） 0 ． （B） 1 ． （C）$a b c d$ ． （D）$a^{2} b^{2} c^{2} d^{2}$ ．
建议答题时问$
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：将行列式各列展开，第$j$列元素为$(x+j-1)^2 = x^2 + 2(j-1)x + (j-1)^2$，其中$x$取$a,b,c,d$。 步骤2：将第1列的$(-1)$倍加到第2、3、4列，再依次化简，发现第2、3、4列均为第1列的线性组合，故行列式为0。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：步骤1：展开各列元素
第1列元素为 $a^2, b^2, c^2, d^2$。第2列元素为 $(a+1)^2 = a^2 + 2a + 1$, $(b+1)^2 = b^2 + 2b + 1$, $(c+1)^2 = c^2 + 2c + 1$, $(d+1)^2 = d^2 + 2d + 1$。类似地，第3列元素为 $(a+2)^2 = a^2 + 4a + 4$, 等等；第4列元素为 $(a+3)^2 = a^2 + 6a + 9$, 等等。
提示：注意展开时各项系数和常数项
步骤 2/5
目标：步骤2：将第1列的(-1)倍加到其他列
将第1列的 $(-1)$ 倍分别加到第2、3、4列，得到新行列式：
$D = \left|\begin{array}{cccc}a^2 & 2a+1 & 4a+4 & 6a+9 \\ b^2 & 2b+1 & 4b+4 & 6b+9 \\ c^2 & 2c+1 & 4c+4 & 6c+9 \\ d^2 & 2d+1 & 4d+4 & 6d+9\end{array}\right|$
提示：注意符号：加(-1)倍时，列元素变为原值减第一列对应元素
步骤 3/5
目标：步骤3：进一步化简第2、3、4列
观察第2列元素 $2x+1$，第3列元素 $4x+4 = 2(2x+2)$，第4列元素 $6x+9 = 3(2x+3)$。这些列均可表示为第1列元素 $x^2$ 和常数项的线性组合，但更直接地，将第2列的 $(-2)$ 倍加到第3列，将第2列的 $(-3)$ 倍加到第4列，得到：
$D = \left|\begin{array}{cccc}a^2 & 2a+1 & 2 & 6 \\ b^2 & 2b+1 & 2 & 6 \\ c^2 & 2c+1 & 2 & 6 \\ d^2 & 2d+1 & 2 & 6\end{array}\right|$
提示：注意列变换的倍数关系
步骤 4/5
目标：步骤4：发现第3列与第4列成比例
第3列元素均为2，第4列元素均为6，即第4列是第3列的3倍。根据行列式性质，若两列成比例，则行列式为0。因此 $D = 0$。
提示：注意观察列元素是否成比例
步骤 5/5
目标：步骤5：得出答案
行列式 $D = 0$，对应选项 (A)。
提示：注意行列式性质的应用
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