kaoyan2advanced 线性代数 第267题
📝 题目
### 第267题
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 是三阶方阵，且 $|\boldsymbol{A}|=1,|\boldsymbol{B}|=-2$ ，则 $\left|\begin{array}{cc}\boldsymbol{A} & -2 \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right|=$ （A） 4 ． （B）-4 ． （C） 16 ． （D）-16 ．
建议答题时问 $\leqslant 2 \mathrm{~min}$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：利用分块矩阵行列式公式：$\begin{vmatrix} A & -2A \\ B & O \end{vmatrix} = |A| \cdot | -2A \cdot B^{-1}?$ 注意公式应为$\begin{vmatrix} A & C \\ B & O \end{vmatrix} = (-1)^{mn} |B||C|$，其中$A$为$m$阶，$B$为$n$阶。此处$A,B$均为三阶，故$m=n=3$。 步骤2：原式$= (-1)^{3 \times 3} |B| \cdot |-2A| = -|B| \cdot (-2)^3 |A| = -(-2) \cdot (-8) \cdot 1 = -16$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别分块矩阵结构
给定分块矩阵 $\begin{pmatrix} \boldsymbol{A} & -2\boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \end{pmatrix}$，其中 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 均为三阶方阵，即 $m=n=3$。
提示：注意分块矩阵的阶数
步骤 2/4
目标：应用分块行列式公式
对于形如 $\begin{pmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \end{pmatrix}$ 的分块矩阵，其中 $\boldsymbol{A}$ 为 $m$ 阶，$\boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶，有公式 $\begin{vmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \end{vmatrix} = (-1)^{mn} |\boldsymbol{B}| \cdot |\boldsymbol{C}|$。此处 $\boldsymbol{C} = -2\boldsymbol{A}$，$m=n=3$，故 $(-1)^{3 \times 3} = (-1)^9 = -1$。
公式：$$\begin{vmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \end{vmatrix} = (-1)^{mn} |\boldsymbol{B}| \cdot |\boldsymbol{C}|$$
提示：注意(-1)的指数mn，m和n为子块阶数
步骤 3/4
目标：代入行列式值
原式 $= (-1) \cdot |\boldsymbol{B}| \cdot |-2\boldsymbol{A}|$。已知 $|\boldsymbol{B}| = -2$，且 $|-2\boldsymbol{A}| = (-2)^3 |\boldsymbol{A}| = -8 \times 1 = -8$。
公式：$$|k\boldsymbol{A}| = k^n |\boldsymbol{A}|$$
提示：注意n阶方阵的系数提取
步骤 4/4
目标：计算最终结果
代入得：原式 $= (-1) \times (-2) \times (-8) = -16$。
公式：$$|kA| = k^n |A|$$
提示：注意n阶方阵的系数提n次方
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