kaoyan2advanced 线性代数 第268题
📝 题目
### 第268题
已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵，满足 $\boldsymbol{A}^{2}+2 \boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ ，若 $|\boldsymbol{A}+3 \boldsymbol{E}|=3$ ，则 $|2 \boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}|=$ （A）-4 ． （B） 9 ． （C） 16 ． （D）-9 ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：由$A^2+2A=O$得$A(A+2E)=O$，故$A$的特征值只能为$0$或$-2$。 步骤2：设$A$的特征值为$\lambda$，则$A+3E$的特征值为$\lambda+3$，由$|A+3E|=3$知特征值乘积为$3$，故三个特征值为$0,0,3$？但$0$对应$\lambda=-3$矛盾。重新分析：$A$的特征值可能为$0$或$-2$，则$A+3E$的特征值为$3$或$1$，乘积为$3$，故特征值为$3,1,1$，对应$A$的特征值为$0,-2,-2$。 步骤3：$2A+E$的特征值为$1,-3,-3$，故$|2A+E| = 1 \times (-3) \times (-3) = 9$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：由已知条件推导特征值可能取值
由 $\boldsymbol{A}^{2}+2\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ 得 $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{A}+2\boldsymbol{E})=\boldsymbol{O}$，故 $\boldsymbol{A}$ 的特征值 $\lambda$ 满足 $\lambda(\lambda+2)=0$，即 $\lambda=0$ 或 $\lambda=-2$。
公式：$$\boldsymbol{A}^2+2\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O} \Rightarrow \lambda(\lambda+2)=0$$
提示：注意特征值满足多项式方程
步骤 2/4
目标：利用行列式条件确定特征值分布
设 $\boldsymbol{A}$ 的三个特征值为 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$，则 $\boldsymbol{A}+3\boldsymbol{E}$ 的特征值为 $\lambda_i+3$。由 $|\boldsymbol{A}+3\boldsymbol{E}|=3$ 得 $(\lambda_1+3)(\lambda_2+3)(\lambda_3+3)=3$。由于 $\lambda_i$ 只能取 $0$ 或 $-2$，则 $\lambda_i+3$ 只能取 $3$ 或 $1$。乘积为 $3$ 的唯一可能是两个 $1$ 和一个 $3$，即 $\lambda_1+3=3,\lambda_2+3=1,\lambda_3+3=1$，解得 $\lambda_1=0,\lambda_2=-2,\lambda_3=-2$。
公式：$$|\boldsymbol{A}+3\boldsymbol{E}| = \prod_{i=1}^3 (\lambda_i+3) = 3$$
提示：注意特征值只能取0或-2
步骤 3/4
目标：计算目标行列式
$2\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}$ 的特征值为 $2\lambda_i+1$，代入得 $2\times0+1=1$，$2\times(-2)+1=-3$，$2\times(-2)+1=-3$。故 $|2\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}| = 1 \times (-3) \times (-3) = 9$。
提示：注意特征值对应关系，避免符号错误
步骤 4/4
目标：得出最终答案
因此 $|2\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}|=9$，对应选项 (B)。
公式：$$|2\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}|=9$$
提示：注意矩阵特征值的计算
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