kaoyan2advanced 线性代数 第269题

教材习题

📝 题目

### 第269题

下列命题中，不正确的是 （A）若 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵，则 $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})=(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})$ ． （B）若 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵，且 $\boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{A}$ ，则 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}$ 必可逆． （C）若 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n \times 1$ 矩阵，则 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$ ． （D）若 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶矩阵，且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$ ，则 $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{2}=\boldsymbol{A}^{2}+\boldsymbol{B}^{2}$ ．

💡 答案解析

**答案**：D **解析**： 步骤1：选项A：矩阵乘法满足分配律，$(A+E)(A-E)=A^2-E=(A-E)(A+E)$，正确。 步骤2：选项B：由$A^2=A$得$A(A-E)=O$，但$A+E$可逆？若$(A+E)x=0$，则$A^2x+Ax=0$，结合$A^2=A$得$2Ax=0$，故$Ax=0$，代入得$x=0$，故可逆，正确。 步骤3：选项C：$A^T B$为$1 \times 1$矩阵，其转置等于自身，故$A^T B = (A^T B)^T = B^T A$，正确。 步骤4：选项D：$AB=O$时，$(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2 = A^2 + BA + B^2$，而$BA$不一定为$O$，故不一定等于$A^2+B^2$，错误。 **难度**：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：分析选项A
对于任意n阶矩阵A，矩阵乘法满足分配律和结合律，因此$(A+E)(A-E)=A^2 - AE + EA - E^2 = A^2 - A + A - E = A^2 - E$，同理$(A-E)(A+E)=A^2 + AE - EA - E^2 = A^2 + A - A - E = A^2 - E$，故两者相等，选项A正确。
公式：$$(A+E)(A-E)=A^2-E$$
提示：注意矩阵乘法不满足交换律，但此处可交换
步骤 2/5
目标：分析选项B
已知$A^2 = A$，则$A(A-E)=O$。考虑矩阵$A+E$的可逆性：假设存在向量$x$使得$(A+E)x=0$，则$Ax + x = 0$，即$Ax = -x$。两边左乘A得$A^2x = A(-x) = -Ax$，由$A^2=A$得$Ax = -Ax$，故$2Ax=0$，即$Ax=0$。代入$Ax=-x$得$x=0$，因此齐次方程只有零解，故$A+E$可逆，选项B正确。
公式：$$A^2 = A$$
提示：注意齐次方程只有零解的条件
步骤 3/5
目标：分析选项C
设$A$和$B$均为$n \times 1$列向量，则$A^T B$是一个$1 \times 1$矩阵，即一个实数。其转置等于自身：$(A^T B)^T = B^T A$，而$A^T B$是标量，故$A^T B = B^T A$，选项C正确。
公式：$$(A^T B)^T = B^T A$$
提示：注意列向量乘积是标量，转置不变
步骤 4/5
目标：分析选项D
由$AB=O$，计算$(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2 = A^2 + BA + B^2$。由于$AB=O$，但$BA$不一定为零矩阵，例如取$A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$，则$AB=O$但$BA=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix} \neq O$，此时$(A+B)^2 = A^2 + BA + B^2 \neq A^2 + B^2$，故选项D不正确。
公式：$$(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$$
提示：注意矩阵乘法不满足交换律
步骤 5/5
目标：得出结论
根据以上分析，选项A、B、C均正确，选项D错误，因此不正确的命题是D。
提示：注意矩阵运算的交换律和逆矩阵性质

📷 拍照上传批改

拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。
← 第268题 返回列表 第270题 →