kaoyan2advanced 线性代数 第270题
📝 题目
### 第270题
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶可逆矩阵，且 $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{2}=\boldsymbol{E}$ ，则 $\left(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}^{-1}\right)^{-1}=$ （A）$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) \boldsymbol{B}$ ． （B） $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}^{-1}$ ． （C） $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})$ ． （D）$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) \boldsymbol{A}$ ．
建议答题时问
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：由$(A+B)^2=E$得$(A+B)$可逆，且$(A+B)^{-1}=A+B$。 步骤2：$(E+BA^{-1})^{-1} = (AA^{-1}+BA^{-1})^{-1} = [(A+B)A^{-1}]^{-1} = A(A+B)^{-1} = A(A+B)$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用已知条件推导可逆性
由 $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{2}=\boldsymbol{E}$ 可知，$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})$ 可逆，且 $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{-1} = \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$。
公式：$$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{2}=\boldsymbol{E}$$
提示：注意可逆矩阵的平方等于单位矩阵时，其逆等于自身
步骤 2/5
目标：变形待求表达式
将 $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}^{-1}$ 写成 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{-1}+\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}^{-1} = (\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})\boldsymbol{A}^{-1}$。
提示：注意矩阵乘法顺序
步骤 3/5
目标：求逆运算
因此 $(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}^{-1})^{-1} = [(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})\boldsymbol{A}^{-1}]^{-1} = \boldsymbol{A}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{-1}$。
公式：$$(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}^{-1})^{-1} = \boldsymbol{A}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{-1}$$
提示：注意逆运算顺序，先提取公因子再求逆。
步骤 4/5
目标：代入逆矩阵
由步骤1知 $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{-1} = \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$，代入得 $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})$。
提示：注意逆矩阵代入后的矩阵乘法顺序
步骤 5/5
目标：得出答案
因此 $(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}^{-1})^{-1} = \boldsymbol{A}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})$，对应选项 C。
公式：$$(E+BA^{-1})^{-1} = A(A+B)$$
提示：注意矩阵乘法顺序不可交换
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