kaoyan2advanced 线性代数 第273题
📝 题目
### 第273题
（2016，数农）设 $\boldsymbol{A}$ 为 $4 \times 5$ 矩阵，若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是方程组 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系，则 $r(\boldsymbol{A})=$ （A） 4 ． （B） 3 ． （C） 2 ． （D） 1 ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：$A$为$4 \times 5$矩阵，$A^T$为$5 \times 4$矩阵。 步骤2：方程组$A^T x = 0$的基础解系含$3$个向量，故$n - r(A^T) = 3$，即$4 - r(A^T) = 3$，得$r(A^T)=1$。 步骤3：$r(A)=r(A^T)=1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定矩阵转置的维数
已知 $\boldsymbol{A}$ 为 $4 \times 5$ 矩阵，则 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 为 $5 \times 4$ 矩阵。
提示：注意转置后行数变列数
步骤 2/4
目标：利用基础解系求秩
方程组 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x} = \mathbf{0}$ 的基础解系含有 $3$ 个向量，即解空间维数为 $3$。对于 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x} = \mathbf{0}$，未知数个数为 $4$（因为 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 的列数为 $4$），故有 $4 - r(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}) = 3$，解得 $r(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}) = 1$。
公式：$$4 - r(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}) = 3$$
提示：注意未知数个数是Aᵀ的列数4
步骤 3/4
目标：矩阵与其转置秩的关系
矩阵的秩等于其转置的秩，即 $r(\boldsymbol{A}) = r(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}})$，因此 $r(\boldsymbol{A}) = 1$。
公式：$$r(\boldsymbol{A}) = r(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}})$$
提示：注意矩阵转置不改变秩
步骤 4/4
目标：得出答案
所以 $r(\boldsymbol{A}) = 1$，对应选项 (D)。
提示：注意矩阵秩与向量组秩的关系
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