kaoyan2advanced 线性代数 第274题
📝 题目
### 第274题
已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}2 & 4 & 2 \\ 1 & a & -2 \\ 2 & 3 & a+2\end{array}\right], \boldsymbol{B}$ 是 3 阶非零矩阵且 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$ ，则 （A）$a=1$ 是 $r(\boldsymbol{B})=1$ 的必要条件． （B）$a=1$ 是 $r(\boldsymbol{B})=1$ 的充分必要条件． （C）$a=3$ 是 $r(\boldsymbol{B})=1$ 的充分条件． （D）$a=3$ 是 $r(\boldsymbol{B})=1$ 的充分必要条件．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：由$AB=O$且$B \neq O$，得$r(A)+r(B) \leq 3$，且$r(A) < 3$。 步骤2：计算$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 4 & 2 \\ 1 & a & -2 \\ 2 & 3 & a+2 \end{vmatrix} = 2(a^2-4a+3) = 2(a-1)(a-3)$。 步骤3：若$r(B)=1$，则$r(A)=2$，故$|A|=0$且$A$的秩为2，即$a=1$或$a=3$，但需验证：$a=1$时$A$秩为2；$a=3$时$A$秩为1，故$r(B)=1$当且仅当$a=1$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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