kaoyan2advanced 线性代数 第275题
📝 题目
### 第275题
$275(2003,3)$ 设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a\end{array}\right]$ ，若 $r\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)=1$ ，则必有 （A）$a=b$ 或 $a+2 b=0$ ． （B）$a=b$ 或 $a+2 b \neq 0$ ． （C）$a \neq b$ 且 $a+2 b=0$ ． （D）$a \neq b$ 且 $a+2 b \neq 0$ ．
管題 区1或
## （ ）纵語算
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：$A$为三阶矩阵，$r(A^*)=1$等价于$r(A)=2$。 步骤2：计算$|A| = \begin{vmatrix} a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a \end{vmatrix} = (a+2b)(a-b)^2$。 步骤3：$r(A)=2$时$|A|=0$且$A$非零，故$a+2b=0$或$a=b$。但$a=b$时$A$的秩为1（全等矩阵），故需$a \neq b$且$a+2b=0$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析矩阵秩的关系
对于三阶矩阵 $\boldsymbol{A}$，其伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^*$ 的秩满足：若 $r(\boldsymbol{A})=3$，则 $r(\boldsymbol{A}^*)=3$；若 $r(\boldsymbol{A})=2$，则 $r(\boldsymbol{A}^*)=1$；若 $r(\boldsymbol{A}) \leq 1$，则 $r(\boldsymbol{A}^*)=0$。已知 $r(\boldsymbol{A}^*)=1$，因此 $r(\boldsymbol{A})=2$。
公式：$$r(\boldsymbol{A}^*) = \begin{cases} 3, & r(\boldsymbol{A})=3 \\ 1, & r(\boldsymbol{A})=2 \\ 0, & r(\boldsymbol{A})\leq 1 \end{cases}$$
提示：注意伴随矩阵秩的三种情况与矩阵秩的对应关系
步骤 2/5
目标：计算矩阵的行列式
计算 $\boldsymbol{A}$ 的行列式：
$$
|\boldsymbol{A}| = \begin{vmatrix} a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a \end{vmatrix}
= \begin{vmatrix} a+2b & b & b \\ a+2b & a & b \\ a+2b & b & a \end{vmatrix}
= (a+2b) \begin{vmatrix} 1 & b & b \\ 1 & a & b \\ 1 & b & a \end{vmatrix}
= (a+2b) \begin{vmatrix} 1 & b & b \\ 0 & a-b & 0 \\ 0 & 0 & a-b \end{vmatrix}
= (a+2b)(a-b)^2.$$
公式：$$|\boldsymbol{A}| = (a+2b)(a-b)^2$$
提示：注意行和相等时提取公因子
步骤 3/5
目标：由秩为2确定参数条件
由于 $r(\boldsymbol{A})=2$，则 $|\boldsymbol{A}|=0$，即 $(a+2b)(a-b)^2=0$，解得 $a+2b=0$ 或 $a=b$。但需排除 $r(\boldsymbol{A}) \leq 1$ 的情况。
公式：$$|\boldsymbol{A}|=0$$
提示：注意排除秩≤1的情况
步骤 4/5
目标：排除秩为1的情况
当 $a=b$ 时，矩阵 $\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} a & a & a \\ a & a & a \\ a & a & a \end{pmatrix}$，其所有行成比例，秩为1，不满足 $r(\boldsymbol{A})=2$。因此 $a=b$ 应排除。
提示：注意a=b时秩为1，需排除
步骤 5/5
目标：得出最终条件
综上，$r(\boldsymbol{A})=2$ 当且仅当 $a \neq b$ 且 $a+2b=0$。故选项 (C) 正确。
公式：$$r(\boldsymbol{A})=2 \iff a \neq b \text{ 且 } a+2b=0$$
提示：注意秩为2的充要条件
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