kaoyan2advanced 线性代数 第276题

给定矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}1-a & a & 0 & -a \\ -3 & 6 & 3 & -3 \\ 2-a & a-2 & -1 & 1-a\end{array}\right]$，其中 $a$ 为任意常数。

将第二行除以3，得到 $\left[\begin{array}{cccc}-1 & 2 & 1 & -1\end{array}\right]$，矩阵变为： $$\boldsymbol{A} \sim \left[\begin{array}{cccc}1-a & a & 0 & -a \\ -1 & 2 & 1 & -1 \\ 2-a & a-2 & -1 & 1-a\end{array}\right]$$

将第三行加上第一行：$R_3 + R_1$，得到新第三行： $$\left[\begin{array}{cccc}(2-a)+(1-a) & (a-2)+a & -1+0 & (1-a)+(-a)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cccc}3-2a & 2a-2 & -1 & 1-2a\end{array}\right]$$

将第一行加上 $(1-a)$ 倍的第二行：$R_1 + (1-a)R_2$，得到新第一行： $$\left[\begin{array}{cccc}(1-a)+(1-a)(-1) & a+(1-a)\cdot2 & 0+(1-a)\cdot1 & -a+(1-a)(-1)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cccc}0 & 2-a & 1-a & -1\end{array}\right]$$ 将第三行加上 $(3-2a)$ 倍的第二行：$R_3 + (3-2a)R_2$，得到新第三行： $$\left[\begin{array}{cccc}(3-2a)+(3-2a)(-1) & (2a-2)+(3-2a)\cdot2 & -1+(3-2a)\cdot1 & (1-2a)+(3-2a)(-1)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cccc}0 & 4 & 2-2a & -2\end{array}\right]$$

将第三行除以2，得到 $\left[\begin{array}{cccc}0 & 2 & 1-a & -1\end{array}\right]$。此时矩阵为： $$\left[\begin{array}{cccc}0 & 2-a & 1-a & -1 \\ -1 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 1-a & -1\end{array}\right]$$

观察第一行和第三行：第一行为 $[0, 2-a, 1-a, -1]$，第三行为 $[0, 2, 1-a, -1]$。当 $a=0$ 时，两行相同，但第二行 $[-1,2,1,-1]$ 与它们线性无关，故秩为2；当 $a \neq 0$ 时，第一行与第三行不同，但第二行仍独立，且第一行与第三行线性相关（因为第三行减去第一行得 $[0, a, 0, 0]$，而第一行减去 $(2-a)/a$ 倍的这个向量可化为零行？实际上，经计算，无论 $a$ 取何值，行阶梯形中非零行均为2行，因此秩恒为2。