kaoyan2advanced 线性代数 第277题
📝 题目
### 第277题
$277(1993,1)$ 已知 $\boldsymbol{Q}=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & t \\ 3 & 6 & 9\end{array}\right], \boldsymbol{P}$ 为三阶非零矩阵，且满足 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{Q}=\boldsymbol{O}$ ，则 （A）$t=6$ 时 $\boldsymbol{P}$ 的秩必为 1 ． （B）$t=6$ 时 $\boldsymbol{P}$ 的秩必为 2 ． （C）$t \neq 6$ 时 $\boldsymbol{P}$ 的秩必为 1 ． （D）$t \neq 6$ 时 $\boldsymbol{P}$ 的秩必为 2 ．
建被答题时间 $\leqslant 3 \mathrm{~min}$ 神佔
（b）sulu蔡 纠镜 算送
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：$Q$为三阶矩阵，$PQ=O$且$P \neq O$，则$r(P)+r(Q) \leq 3$。 步骤2：计算$r(Q)$：当$t=6$时，$Q$各行成比例，$r(Q)=1$；当$t \neq 6$时，$r(Q)=2$。 步骤3：若$t=6$，则$r(P) \leq 2$，不一定为1；若$t \neq 6$，则$r(P) \leq 1$，且$P \neq O$，故$r(P)=1$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析条件与秩不等式
已知 $\boldsymbol{P}$ 为三阶非零矩阵，且 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{O}$。由矩阵秩的性质，若 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{O}$，则 $r(\boldsymbol{P}) + r(\boldsymbol{Q}) \leq 3$。
公式：$$r(\boldsymbol{P}) + r(\boldsymbol{Q}) \leq 3$$
提示：注意非零矩阵秩至少为1
步骤 2/5
目标：计算矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 的秩
矩阵 $\boldsymbol{Q} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & t \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$。
- 当 $t = 6$ 时，第二行是第一行的2倍，第三行是第一行的3倍，各行成比例，故 $r(\boldsymbol{Q}) = 1$。
- 当 $t \neq 6$ 时，第一行与第二行不成比例（因为第三列元素不同），且第一行与第三行成比例，但第二行与第一行线性无关，故 $r(\boldsymbol{Q}) = 2$。
提示：注意t=6时各行成比例，秩为1
步骤 3/5
目标：讨论 $t=6$ 时 $\boldsymbol{P}$ 的秩
若 $t=6$，则 $r(\boldsymbol{Q}) = 1$，代入秩不等式得 $r(\boldsymbol{P}) \leq 2$。由于 $\boldsymbol{P}$ 非零，$r(\boldsymbol{P})$ 可能为1或2，不一定为1，故选项(A)和(B)错误。
公式：$$r(\boldsymbol{P}) + r(\boldsymbol{Q}) - n \leq r(\boldsymbol{PQ}) \leq \min(r(\boldsymbol{P}), r(\boldsymbol{Q}))$$
提示：注意秩不等式中的等号条件
步骤 4/5
目标：讨论 $t \neq 6$ 时 $\boldsymbol{P}$ 的秩
若 $t \neq 6$，则 $r(\boldsymbol{Q}) = 2$，代入秩不等式得 $r(\boldsymbol{P}) \leq 1$。又 $\boldsymbol{P}$ 为非零矩阵，故 $r(\boldsymbol{P}) \geq 1$，因此 $r(\boldsymbol{P}) = 1$。选项(C)正确，选项(D)错误。
公式：$$r(\boldsymbol{P}) + r(\boldsymbol{Q}) - n \leq r(\boldsymbol{PQ}) \leq \min(r(\boldsymbol{P}), r(\boldsymbol{Q}))$$
提示：注意非零矩阵秩至少为1
步骤 5/5
目标：得出结论
综上所述，当 $t \neq 6$ 时 $\boldsymbol{P}$ 的秩必为1，故正确答案为(C)。
提示：注意t=6时秩为2，t≠6时秩为1
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