kaoyan2advanced 线性代数 第278题
📝 题目
### 第278题
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵，$\lambda=0$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征值，且为单根，则 $r(\boldsymbol{A})=$ （A） 0 ． （B） 1 ． （C）$n-1$ ． （D）$n$ ．
建议答题时问
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：$\lambda=0$是$A$的特征值且为单根，则代数重数为1，几何重数（即$n-r(A)$）至少为1且不超过代数重数。 步骤2：由于是单根，几何重数等于1，故$n - r(A) = 1$，即$r(A)=n-1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解特征值与秩的关系
对于 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$，特征值 $\lambda=0$ 的几何重数等于 $n - r(\boldsymbol{A})$，其中 $r(\boldsymbol{A})$ 是矩阵的秩。
公式：$$\text{几何重数} = n - r(\boldsymbol{A})$$
提示：注意几何重数与代数重数的区别
步骤 2/5
目标：分析单根条件
已知 $\lambda=0$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征值，且为单根，即代数重数为1。代数重数不小于几何重数，故几何重数 $\leq 1$。同时，由于 $\lambda=0$ 是特征值，几何重数至少为1。因此几何重数等于1。
提示：单根特征值的几何重数必为1
步骤 3/5
目标：建立方程求解秩
由几何重数 $= n - r(\boldsymbol{A}) = 1$，解得 $r(\boldsymbol{A}) = n - 1$。
公式：$$\text{几何重数} = n - r(\boldsymbol{A})$$
提示：注意单根条件确保几何重数为1
步骤 4/5
目标：验证选项
选项 (C) $n-1$ 符合计算结果，其他选项 (A) 0、(B) 1、(D) $n$ 均不正确。
提示：注意单根特征值0的几何重数等于代数重数1
步骤 5/5
目标：得出答案
因此，$r(\boldsymbol{A}) = n-1$，答案为 C。
公式：$$r(\boldsymbol{A}) = n - \text{特征值0的代数重数}$$
提示：注意单根特征值0的几何重数等于代数重数
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