kaoyan2advanced 线性代数 第279题
📝 题目
### 第279题
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵， $\boldsymbol{B}$ 是 $n \times m$ 矩阵，且满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}$ ，则 （A） $\boldsymbol{A}$ 的列向量组线性无关， $\boldsymbol{B}$ 的行向量组线性无关． （B） $\boldsymbol{A}$ 的列向量组线性无关， $\boldsymbol{B}$ 的列向量组线性无关． （C） $\boldsymbol{A}$ 的行向量组线性无关， $\boldsymbol{B}$ 的列向量组线性无关。 （D） $\boldsymbol{A}$ 的行向量组线性无关， $\boldsymbol{B}$ 的行向量组线性无关．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：$A$是$m \times n$，$B$是$n \times m$，$AB=E_m$，则$r(A)=r(AB)=m$，故$A$的列向量组（$m$个$m$维向量）线性无关。 步骤2：同理，$r(B)=m$，故$B$的行向量组（$m$个$n$维向量）线性无关。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析矩阵秩的关系
已知 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B$ 是 $n \times m$ 矩阵，且 $AB = E$，其中 $E$ 是 $m$ 阶单位矩阵。由矩阵秩的性质，有 $r(AB) \leq \min\{r(A), r(B)\}$，且 $r(AB) = r(E) = m$，因此 $r(A) \geq m$ 且 $r(B) \geq m$。又因为 $A$ 的秩不超过其行数 $m$，$B$ 的秩不超过其列数 $m$，所以 $r(A) = m$，$r(B) = m$。
公式：$$r(AB) \leq \min\{r(A), r(B)\}$$
提示：注意秩的不等式方向
步骤 2/4
目标：判断A的列向量组线性无关性
$A$ 是 $m \times n$ 矩阵，秩为 $m$，意味着 $A$ 的列向量组中有 $m$ 个线性无关的向量。由于 $A$ 有 $m$ 行，其列向量是 $m$ 维向量，而秩等于 $m$ 表明列向量组的极大无关组包含 $m$ 个向量，因此整个列向量组（共 $n$ 个向量）线性无关。
提示：注意m行n列矩阵的秩为m时，列向量组线性无关
步骤 3/4
目标：判断B的行向量组线性无关性
$B$ 是 $n \times m$ 矩阵，秩为 $m$。行向量组是 $m$ 个 $n$ 维向量，秩等于 $m$ 意味着行向量组的极大无关组包含 $m$ 个向量，因此整个行向量组线性无关。
提示：注意行向量个数与维数的关系
步骤 4/4
目标：结合选项得出结论
由以上分析，$A$ 的列向量组线性无关，$B$ 的行向量组线性无关，对应选项（A）。
提示：注意区分行向量与列向量线性无关的条件。
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